РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: x плюс 3 минус 4 корень из: начало аргумента: x минус 1 конец аргумента конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: x плюс 8 минус 6 корень из: начало аргумента: x минус 1 конец аргумента конец аргумента =1.$

б)  Числа $p, q принадлежит левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка$ выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что многочлен $x в квадрате плюс px плюс q$ имеет действительные корни.

в)  Докажите, что если не существует треугольника с длинами сторон a, b, c, то нет и треугольника со сторонами aⁿ, bⁿ, cⁿ (n  — натуральное).

г)  Докажите, что треугольник ABC является прямоугольным тогда и только тогда, когда $косинус в квадрате A плюс косинус в квадрате B плюс косинус в квадрате C=1.$

Решение. а)  Положим $t= корень из: начало аргумента: x минус 1 конец аргумента .$ Относительно новой переменной имеем уравнение $корень из: начало аргумента: t в квадрате минус 4t плюс 4 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: t в квадрате минус 6t плюс 9 конец аргумента =1,$ или $|t минус 2| плюс |t минус 3|=1,$ которое можно решать, стандартным образом раскрывая модуль. Однако в данном случае никакое вычисление не требуется, поскольку это уравнение задает множество точек числовой прямой, сумма расстояний от которых до точек 2 и 3 равна единице. Таковыми являются все точки отрезка $левая квадратная скобка 2; 3 правая квадратная скобка$ и только они, поэтому $2 меньше или равно корень из: начало аргумента: x минус 1 конец аргумента \leqslant3.$

Ответ: $левая квадратная скобка 5; 10 правая квадратная скобка .$

б)  Данное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда $p в квадрате минус 4q\geqslant0.$ По определению геометрической вероятности, искомая вероятность равна отношению площади множества точек единичного квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенству, т. е. площади подграфика функции $y= дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби , x принадлежит левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка ,$ к площади самого этого квадрата. Таким образом, эта вероятность равна интегралу $принадлежит t_0 в степени 1 дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби dx= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 12.$

в)  Если треугольник с длинами сторон a, b, c не существует, то одно из этих чисел не меньше суммы двух других. Пусть $a больше или равно b плюс c,$ тогда

$a в степени n \geqslant левая круглая скобка b плюс c правая круглая скобка в степени n =b в степени n плюс \ldots плюс c в степени n больше или равно b в степени n плюс c в степени n ,$

поэтому не существует и треугольника с длинами сторон aⁿ, bⁿ, cⁿ.

г)  Прежде всего запишем данное условие в виде

$косинус 2A плюс косинус 2B плюс 2 косинус в квадрате C=0.$

Преобразуем далее:

$2 косинус левая круглая скобка A плюс B правая круглая скобка косинус левая круглая скобка A минус B правая круглая скобка плюс 2 косинус в квадрате C=0, минус косинус C левая круглая скобка косинус левая круглая скобка A плюс B правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка A минус B правая круглая скобка правая круглая скобка =0,$

или $2 косинус C косинус A косинус B=0,$ откуда и следует, что один из углов треугольника  — прямой.

Критерии проверки:

За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок:
+ (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов)
Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий Баллы

Верное и полное выполнение задания 3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет 2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка 1
Остальные случаи 0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.
Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1004	$левая квадратная скобка 5; 10 правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Ключ