Из квадрата 418 × 418 вырезали квадратик 2 × 2 так, что оставшуюся фигуру удалось разрезать на прямоугольники 1 × 5. На каком минимальном расстоянии от края доски может находиться квадратик, если сторона клетки равна 1 см? Ответ дайте в сантиметрах.
Решение. Расставим в клетках доски натуральные числа следующим образом: первую строку заполним единицами, вторую — двойками, третью — тройками, и т. д., в каждую клетку последней строки поставим число 418. Тогда в каждом прямоугольнике 1 × 5 сумма чисел делится на 5. Действительно, это утверждение очевидно для горизонтальных прямоугольников, а для вертикальных сумма всегда имеет вид
для некоторого натурального k и тоже кратна 5. Следовательно, сумма чисел в квадратике 2 × 2 должна иметь тот же остаток от деления на 5, что и сумма чисел во всем квадрате. Сумма всех чисел вычисляется по формуле
Нетрудно видеть, что остаток от деления полученного числа на 5 равен остатку от деления 
на 5, то есть 3. Такой остаток в квадрате 2 × 2 с учетом расстановки чисел можно получить, только если в нем стоят два числа с остатком 4 и два числа с остатком 0. Следовательно, от верхнего края большого квадрата квадратик отделяют минимум три строки. Аналогичное утверждение верно и для трех других сторон.
Осталось привести пример расположения квадратика на расстоянии трех клеток от края и разрезание оставшейся части на прямоугольники 1 × 5. Легко придумать такое разрезание для квадрата 8 × 8 — надо вырезать из него центральный квадрат 2 × 2, оставшаяся часть легко разобьется на прямоугольники 1 × 5 (см. рис.). Далее из квадрата 418 × 418 удаляем квадрат 8 × 8, расположенный в углу, после чего оставшаяся часть представляется в виде объединения прямоугольников 8 × 410 и 410 × 8 и квадрата 410 × 410. Все они легко разрезаются на прямоугольники 1 × 5, так как 410 делится на 5.
Ответ: 3.
Ответ: 3.
