При каком наименьшем n существуют n чисел из интервала (−1; 1), таких, что их сумма равна 0, а сумма их квадратов равна 42?
Решение.
Для начала приведём пример 44 чисел, сумма которых равна 0, а сумма их квадратов равна 42. Например, подойдут числа
Докажем теперь, что меньше чем 44 числами обойтись не удастся. Предположим противное. Тогда среди всех чисел или положительных, или отрицательных не более 21. Домножая, если необходимо, все числа на −1, можно считать, что отрицательных чисел не более 21.
Пусть y1, y2, ..., yk — все отрицательные числа, а yk + 1, ..., yn — все неотрицательные числа. Тогда
