РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1659 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2015 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрия + модули, Методы алгебры. Замена переменной, Методы алгебры. Преобразования выражений

Решите уравнение

$левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби минус 2 косинус 2x правая круглая скобка умножить на \mid 2 косинус 2x плюс 1 \mid = косинус x левая круглая скобка косинус x минус косинус 5x правая круглая скобка .$

Решение.

Преобразуем правую часть уравнения:

$\beginaligned косинус x левая круглая скобка косинус x минус косинус 5 x правая круглая скобка = косинус x умножить на левая круглая скобка 2 синус 2 x синус 3 x правая круглая скобка = синус 2 x умножить на левая круглая скобка 2 синус 3 x косинус x правая круглая скобка = синус 2 x умножить на левая круглая скобка синус 4 x плюс синус 2 x правая круглая скобка = синус 2 x левая круглая скобка 2 синус 2 x косинус 2 x плюс синус 2 x правая круглая скобка = синус в квадрате 2 x левая круглая скобка 1 плюс 2 косинус 2 x правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате 2 x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2 косинус 2 x правая круглая скобка . \endaligned$

Обозначим $косинус 2 x=t.$ Тогда уравнение принимает вид

$левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби минус 2 t правая круглая скобка умножить на |1 плюс 2 t|= левая круглая скобка 1 плюс 2 t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка .$

Возможны три случая.

a) При $t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ является корнем уравнения.

б) При $t больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Получаем

$дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби минус 2 t=1 минус t в квадрате равносильно t в квадрате минус 2 t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби =0 равносильно совокупность выражений t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,t= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Подходит $t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

в) При $t меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Получаем

$дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби минус 2 t=t в квадрате минус 1, t в квадрате плюс 2 t минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 4 конец дроби =0 равносильно t= дробь: числитель: минус 2 \pm корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Корень $t_1= дробь: числитель: минус 2 минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ не подходит, так как $t_1 меньше минус 1 ;$ корень $t_2= дробь: числитель: минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ не подходит, так как не удовлетворяет условию $t меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Итого: $t=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ тогда

$косинус 2 x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2 x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс k Пи равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: k Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $k принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: k Пи , знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Получено алгебраическое уравнение относительно $косинус 2x$  — 3 балла.

Решено алгебраическое уравнение относительно $косинус 2x$  — 3 балла.

При этом не сделан (неверно сделан) отбор корней — 1 балл вместо 3 баллов.

При этом потерян случай обращения в ноль подмодульного выражение — 1 балл вместо 3 баллов.

Решены элементарные тригонометрические уравнения — 1 балл.

Аналоги к заданию № 1652: 1659 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе