РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1470 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрия + модули, Методы алгебры. Преобразования выражений

Решите уравнение

$дробь: числитель: синус 3x, знаменатель: синус x конец дроби минус дробь: числитель: 2 косинус 3x, знаменатель: косинус 3x конец дроби =5 \mid синус x \mid.$

Решение.

Данное уравнение при условии $косинус x синус x не равно q 0$ равносильно каждому из следующих:

$дробь: числитель: левая круглая скобка 3 синус x минус 4 синус в кубе x правая круглая скобка , знаменатель: синус x конец дроби минус дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 4 косинус в кубе x минус 3 косинус x правая круглая скобка , знаменатель: косинус x конец дроби =5| синус x| равносильно$

$равносильно 3 минус 4 синус в квадрате x минус 8 косинус в квадрате x плюс 6=5| синус x| равносильно 4 синус в квадрате x минус 5| синус x| плюс 1=0.$

Решая последнее уравнение как квадратное относительно $| синус x|,$ получаем что $| синус x|=1$ или $| синус x|= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ Первый случай не удовлетворяет ОДЗ (так как если $| синус x|=1,$ то $косинус x=0 правая круглая скобка .$ Из второго уравнения находим, что $x=\pm арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс k Пи ,$ где $k принадлежит \mathrmZ.$