Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от тридцати трёх последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 3168, а сумма расстояний от этих же тридцати трёх чисел до некоторого числа b равна 924. Найдите все возможные значения a, если известно, что a + b = 120.
Решение. Обозначим данные последовательные натуральные числа через k, 
..., 
Заметим, что если некоторое число лежит на отрезке 
то сумма расстояний от него до данных тридцати трёх чисел не превосходит 
(сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна 32, сумма расстояний до 
и 
не превосходит 32, сумма расстояний до 
и 
также не превосходит 32 и т. д.; расстояние до 
не превосходит половины длины отрезка между крайними числами, т. е. 16). Следовательно, числа a и b лежат вне отрезка 
Тогда сумма расстояний от числа a до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой
Аналогично, сумма расстояний от числа b до каждого из данных чисел равна 
Получаем систему уравнений
Рассмотрим четыре случая раскрытия модуля. 1) Оба числа a и b лежат справа от отрезка Тогда
2) Оба числа a и b лежат слева от отрезка 
Тогда
3) Число a лежит справа, а 
слева от отрезка Тогда
4) Число b лежит справа, а 
слева от отрезка Тогда
Итак, возможны три случая: 
Ответ: 
Критерии проверки:Указано, что числа a и b лежат вне отрезка между данными последовательными числами — 1 балл.
Получена формула суммы расстояний от чисел a и b до данных последовательных натуральных чисел — 1 6алл ИЛИ найдены расстояния от a и b до ближайших последовательных чисел — 1 6алл. (Этот балл ставится при условии, что выполнен предыдущий пункт.)
За рассмотрение каждого из четырёх возможных случаев расположения чисел a и b (оба числа слева от отрезка, содержащего данные последовательные натуральные числа; оба числа справа и т. д.) — по 1 баллу за случай при условии, что выполнена проверка возможности случая.
Если при рассмотрении случаев не выполнена проверка, то 0 баллов за рассмотрение одного случая, 1 балл за рассмотрение двух или трёх случаев, 2 балла за рассмотрение четырёх случаев.
Количество слагаемых в формуле суммы расстояний отличается от верного на 1 — снять 2 балла с общей суммы.
