Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от восьми последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 612, а сумма расстояний от этих же восьми чисел до некоторого числа b равна 240. Найдите все возможные значения
Решение. Обозначим данные последовательные натуральные числа через k, 
..., 
Заметим, что если некоторое число лежит на отрезке 
то сумма расстояний от него до данных восьми чисел не превосходит 
(сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна 7 , сумма расстояний до 
и 
не превосходит 7 , сумма расстояний до 
и 
также не превосходит 7 и т. д.). Следовательно, числа a и b лежат вне отрезка 
Тогда сумма расстояний от числа a до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой
Аналогично, сумма расстояний от числа b до каждого из данных чисел равна 
Получаем систему уравнений
Рассмотрим четыре случая раскрытия модуля.
1) Оба числа a и b лежат справа от отрезка 
Тогда
Ввиду того, что k должно быть натуральным числом, этот случай не подходит
2) Оба числа a и b лежат слева от отрезка 
Тогда
3) Число a лежит справа, а 
слева от отрезка Тогда
Этот случай также не подходит.
4) Число b лежит справа, а a — слева от отрезка Тогда
Итак, возможны два случая: 
Ответ: 
Критерии проверки:Указано, что числа a и b лежат вне отрезка между данными последовательными числами — 1 балл.
Получена формула суммы расстояний от чисел a и b до данных последовательных натуральных чисел — 1 балл ИЛИ найдены расстояния от a и b до ближайших последовательных чисел — 1 6алл.
За рассмотрение каждого из четырёх возможных случаев расположения чисел a и b (оба числа слева от отрезка, содержащего данные последовательные натуральные числа; оба числа справа и т. д.) — по 1 баллу за случай при условии, что выполнена проверка возможности случая.
Если при рассмотрении случаев не выполнена проверка, то 0 баллов за рассмотрение одного случая, 1 балл за рассмотрение двух или трёх случаев, 2 балла за рассмотрение четырёх случаев.
Количество слагаемых в формуле суммы расстояний отличается от верного на 1 — снять 2 балла с общей суммы.
Ответ: 
