РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1157 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра. Квадратный трёхчлен, т. Виета, Методы алгебры. Преобразования выражений

Уравнение $x в квадрате плюс ax плюс 5=0$ имеет два различных корня x₁ и x₂; при этом

$x_1 в квадрате плюс дробь: числитель: 20, знаменатель: 3x_2 в кубе конец дроби =x_2 в квадрате плюс дробь: числитель: 20, знаменатель: 3x_1 в кубе конец дроби .$

Найдите все возможные значения

Решение.

Для существования корней уравнения его дискриминант должен быть положителен, откуда $a в квадрате минус 16 больше 0 .$ При этом условии по теореме Виета $x_1 плюс x_2= минус a$ и $x_1 x_2=4.$ Тогда

$x_1 в квадрате плюс x_1 x_2 плюс x_2 в квадрате = левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка в квадрате минус x_1 x_2=a в квадрате минус 4 .$

Преобразуем данное равенство:

$x_1 в квадрате минус x_2 в квадрате минус дробь: числитель: 20, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: x_1 в кубе минус x_2 в кубе , знаменатель: x_1 в кубе x_2 в кубе конец дроби =0 равносильно левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 20 левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1 в квадрате плюс x_1 x_2 плюс x_2 в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 3 левая круглая скобка x_1 x_2 правая круглая скобка в кубе конец дроби =0 .$ $x_1 в квадрате минус x_2 в квадрате минус дробь: числитель: 20, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: x_1 в кубе минус x_2 в кубе , знаменатель: x_1 в кубе x_2 в кубе конец дроби =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 20 левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1 в квадрате плюс x_1 x_2 плюс x_2 в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 3 левая круглая скобка x_1 x_2 правая круглая скобка в кубе конец дроби =0 .$

Поскольку корни различны, $x_1 минус x_2 не равно q 0 .$ Разделив обе части на $x_1 минус x_2$ и подставляя указанные выше значения, получаем

$минус a минус дробь: числитель: 20, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: a в квадрате минус 4, знаменатель: 64 конец дроби =0 равносильно 5 a в квадрате плюс 48 a минус 20=0,$