PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
У царя Гвидона было три сына. Из числа его потомков 99 имели по два сына, а остальные умерли бездетными. Сколько всего потомков было у царя Гвидона?
Сколько трехзначных чисел делятся на 9 или на 15?
Докажите, что при всяком натуральном n верны неравенства
Натуральные числа от 1 до ab выписаны по строчкам (начиная с первой) в порядке возрастания в клетки таблицы, содержащей a строк и b столбцов. Найдите a и b, если известно, что число 20 находится в третьей строке, 41 — в пятой, а 103 — в последней.
Известно, что средняя линия четырехугольника равна полусумме не пересекающихся с ней сторон. Докажите, что этот четырехугольник — трапеция.
Упростите выражение
и объясните полученный ответ.
Решите уравнение 
Найдите все возможные наборы из семи действительных чисел, сумма любых четырех из которых равна произведению трех оставшихся.
Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки плоскости до трех вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвертой вершины.
В противоположных вершинах куба сидят тараканы. Каков кратчайший путь от одного из них к другому?
то легко получить следующее рекуррентное соотношение: 
откуда 
после чего неравенство доказывается без труда.
и 
единственное целочисленное решение этой системы неравенств — это 
Далее, 
откуда 
так что 
значит, точки B, C и P лежат на одной прямой, следовательно, стороны BC и AD параллельны. Векторный подход: докажите, что в произвольном четырехугольнике 
и что если 
то векторы 
и 
сонаправлены.
Далее практически очевидно, что 
Но такой многочлен тогда равен единице тождественно! (докажите это).
тогда
Из равенства 
и 
следует, что
значит, 
в частности числа f и g имеют противоположные знаки, что невозможно. Следовательно, все числа в наборах равны, то есть 
откуда и следует ответ.
