До­ка­жи­те, что любое на­ту­раль­ное число, боль­шее 5, можно пред­ста­вить как сумму про­сто­го числа и со­став­но­го.

Из­вест­но, что число яв­ля­ет­ся кор­нем мно­го­чле­на где a и b  — целые числа. Най­ди­те a, b и осталь­ные корни этого мно­го­чле­на.

Точка ка­са­ния впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник окруж­но­сти делит его ги­по­те­ну­зу на от­рез­ки дли­ной 5 и 12 см. Най­ди­те ка­те­ты этого тре­уголь­ни­ка.

Най­ди­те все такие про­стые числа p, для ко­то­рых число   — тоже про­стое.

На ост­ро­ве живут ры­ца­ри, ко­то­рые все­гда го­во­рят прав­ду, и лжецы, ко­то­рые все­гда лгут. Ост­ро­ви­тя­нин в при­сут­ствии дру­го­го ост­ро­ви­тя­ни­на ска­зал, что по край­ней мере один из них лжец. Кто они?

До­ка­жи­те не­ра­вен­ство При каком наи­боль­шем k верно не­ра­вен­ство

Най­ди­те число об­ла­стей, на ко­то­рые раз­би­ва­ют: а) пря­мую n раз­лич­ных точек; б) плос­кость n пря­мых, из ко­то­рых ни­ка­кие две не па­рал­лель­ны и ни­ка­кие три не пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке?

Ка­ко­ва наи­мень­шая пло­щадь круга, ко­то­рым можно на­крыть тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 14, 10 и 9 см?

До­ка­жи­те, что круги, по­стро­ен­ные на сто­ро­нах вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка как на диа­мет­рах, це­ли­ком по­кры­ва­ют этот че­ты­рех­уголь­ник.

До­ка­жи­те, что для вся­ко­го на­ту­раль­но­го числа n сумма кубов чисел от 1 до n яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том.