PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Найдите такое наименьшее натуральное число n, при котором n! делится на 990.
Решите уравнение 
Сколько решений имеет уравнение 
Разрежьте квадрат на 6, 8, 9 квадратов. На какое еще число квадратов можно разрезать квадрат?
Решите в целых числах уравнение x + y = xy.
Из Манчестера и Ливерпуля одновременно навстречу друг другу выехали в магическое путешествие Пол и Джон. После их встречи Пол ехал еще 9 часов до Ливерпуля, а Джон — 16 часов до Манчестера. Сколько часов был в пути каждый из них?
Найдите на плоскости точку, сумма расстояний от которой до вершин данного выпуклого четырехугольника является наименьшей.
В единичном квадрате где-то расположены 51 точка. Докажите, что в некотором квадрате со стороной 
имеются хотя бы три из них. Верно ли, что найдется круг радиуса 
который также содержит по меньшей мере три из этих точек?
Можно ли ходом коня попасть из поля 
шахматной доски на поле 
побывав на каждой клетке по одному разу?
Какое наибольшее число коней можно расставить на шахматной доске так, что ни один из них не бил другого?
а 11 — простое число, то 
лишь при 
Ясно, что 
и 
(см. рисунок). Если графики построены достаточно тщательно, то становится ясно, что уравнение 
имеет два решения — наименьшие из корней уравнений 
и 
то есть 
три — при остальных значениях параметра.
квадратов. Ясно, что на 4 квадрата разрезать можно. Далее, никакие две вершины исходного квадрата не могут быть вершинами одного и того же квадратика, поэтому разрезание на 3 квадрата невозможно. Невозможно также разрезать квадрат на 5 квадратов (попробуйте найти наиболее экономный способ это доказать).
и 
— целые числа, то либо 
либо 
и 
и 
(где t — время до встречи Пола и Джона) совпадает с отношением их скоростей, откуда 
то есть 
и 
то есть M совпадает с точкой пересечения этих отрезков. Интересно отметить, что аналогичная задача для треугольника гораздо сложнее.
Если бы в каждом из них было не более двух точек, то всего точек оказалось бы не более пятидесяти (принцип Дирихле). Ответ на вопрос о круге будет положителен. (Заметим, что без сформулированного утверждения о квадратике было бы значительно труднее догадаться до идеи решения.) В самом деле, нам осталось убедиться, что в круге радиуса 
содержится квадрат со стороной 
поскольку радиус описанной окружности для квадрата равен 
и 
в котором стояли бы как минимум пять коней, не бьющих друг друга. Но это невозможно, поскольку по крайней мере три из их окажутся в одном из в двух квадратиков 
из которых состоит этот прямоугольник, и тогда они будут бить не менее трех клеток в другом квадратике. Значит, в любом прямоугольнике 
могут оказаться не более четырех коней.