PDF-версии: 
а) Существует ли геометрическая прогрессия, среди членов которой имеются числа 2, 3 и 5?
б) Решите уравнение 
(здесь 
— это целая часть числа, т. е. наибольшее целое число, его не превосходящее).
в) Найдите количество лежащих на кривой 
точек плоскости, координаты которых суть целые числа.
г) Два шахматиста играют матч до первой победы. Известно, что во встречах друг с другом каждый из них, играя белыми фигурами, побеждает с вероятностью 
а проигрывает с вероятностью 
(тем самым с вероятностью в каждой из партий фиксируется ничья). Если в 40 партиях матча будет зафиксирована ничья, то для определения победителя кидают жребий. Оцените (с разумной точностью) шансы на выигрыш того игрока, с хода которого начнется этот матч.
и 
то 
т. e. 
что невозможно. 
то осуществим перебор. 
Тогда 
откуда 
Имеем 
так что 
и этот случай невозможен.
или 
В первом случае 
Из 
(
), поэтому число k должно быть четным. Во втором случае, наоборот, n — нечетно. Поэтому 
или 
Таким образом, 
или 
В этом случае 
так что решений нет.
Тогда 
а число k должно быть четно. Таким образом, 
Так как числа x + y и x − y, будучи целыми, имеют одинаковую четность, то 
и 
где 
Таким образом, количество решений данного уравнения совпадает с количеством чисел 
поэтому будем считать, что матч продолжается до первой победы. Вероятность победы игрока, который в первой партии играет белыми фигурами, равна сумме ряда 
— вероятности его победы при игре белыми, соответственно, черными фигурами, 
— вероятность ничьи. 
так как вероятность его победы почти равна 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 от нее расположена точка M. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из точки M на стороны этого угла.
плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
получаем уравнение 
т. е. 
При 
имеем 
т. е. 
Вообще, 
есть решение только при 
После 
откуда 
Случай 
Из условий 
получаем, что 
Таким образом, 
при 
при 
так что 
Для определения коэффициентов уравнения 
плоскости 
получаем систему 
и 
Найдем координаты точки P пересечения прямой 
и плоскости KLM: 
так 
начальный член 
которой — натуральное число, задана соотношениями
для всякого 
то 
поэтому такая последовательность непериодична, но ее хвост 
периодичен. Пусть xk — наименьший член некоторой последовательности, ясно, что число xk нечетно. Если предположить, что 
то 
