PDF-версии: 
а) Докажите, что если каждая из средних линий четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника, то этот четырехугольник параллелограмм.
б) Найдите наибольшую площадь тени при ортогональной проекции на плоскость правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна единице, а боковое ребро — двум.
в) Докажите, что если 
(i = 1, 2, 3), то
Решение. а) Докажите, что если каждая из средних линий четырехугольника делит его на два равновеликих четырехугольника, то этот четырехугольник параллелограмм.
Допустим, что 
причем B лежит между A и E, а C лежит между E и D (если продолжения сторон пересекаются с другой стороны четырехугольника, переобозначим вершины). Пусть также M — середина AB, N — середина CD, 
По условию 
и 
тогда
Решим 
отсюда
Противоречие.
Значит на самом деле AB параллельна CD. Аналогично из равенства других площадей получим AD параллельную BC, поэтому ABCD — параллелограмм.
б) Найдите наибольшую площадь тени при ортогональной проекции на плоскость правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна единице, а боковое ребро — двум. Докажем, что ответ 1.
Проекция пирамиды будет либо треугольником, либо четырехугольником. Если это треугольник, то он является проекцией одной из граней, поэтому его площадь не больше площади этой грани. Площадь основания равна 
а площадь боковой грани меньше 
(поскольку апофема не больше бокового ребра).
Если же это четырехугольник, то его диагонали являются проекциями скрещивающихся ребер пирамиды, поэтому их длины не больше 1 и 2, а тогда площадь не превосходит половины произведения диагоналей и не больше единицы.
С другой стороны, в правильной пирамиде боковое ребро перпендикулярно скрещивающемуся с ней ребру основания. Возьмем плоскость, параллельную этим двум ребрам, тогда длины проекций будут равны длинам ребер и проекции будут перпендикулярны друг другу, значит, площадь будет в точности 
Ответ: 1.
в) Решим задачу для произвольного числа n чисел 
Введем квадратные трехчлены 
Так как по условию 
и 
то 
при всех 
Значит,
откуда и следует неравенство 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Например для 
нужно выбирать только четные k, 
аналогично и для 
нужно выбирать четные k.
Построим сначала график функции 
отразим его относительно вертикальной оси (получим график 
), сдвинем вправо на 
(получим график 
) и вниз на 
прямая пройдет через точку 
и к ответу добавится 
Затем прямая будет пересекать обе ветви графика и появится еще небольшой отрезок между точками пересечения. Затем при некотором 
прямая коснется левой ветви графика и ответом будут все x до точки пересечения с правой ветвью. Затем появится вторая точка пересечения с левой ветвью а ответом будут все x левее этой точки и все от 0 до точки пересечения с правой ветвью. 
подходить уже не будут, зато появится вторая точка пересечения с правой ветвью и к ответу добавятся все точки правее этой точки пересечения.
С этого момента будут подходить все 
Осталось найти все эти точки пересечения и определить конкретные значения 
для поиска точек пересечения с левой ветвью, получим
для поиска точек пересечения с правой ветвью, тогда 
Второй соответствует пересечению с нижней ветвью параболы 
которая не относится к графику (на рисунке показана пунктиром) 
откуда 
и 
в точке 
то есть производной от данной функции в точке 
Решим
дает 
должно быть таким положительным числом, при котором склеиваются точки пересечения прямой с правой ветвью графика, откуда 
следует выбрать 
Теперь можно написать ответ. 
то вклад составит 
не пригодилось. Чтобы его нормально использовать, нужно, кажется, тратить по 18 тысяч. Тогда надо будет доказывать, что 
что верно поскольку 
при 
при 
при 
при 
при 
при 
где 
то из того, что они образуют арифметическую прогрессию, следует, что средний из них равен 
Если a — длина стороны, противоположной этому углу, то длины остальных сторон треугольника — 
По формуле косинусов 
и 
то существует замкнутая выпуклая ломаная, длины звеньев которой равны ai. Попробуйте дать какое-нибудь обоснование этого утверждения. 
(обозначения на рисунке; отрезок CK параллелен стороне AB), откуда следует, что 
то после замены 
получим уравнение 
Полученное уравнение разрешимо, если число 
входит в множество значений функции 
Для его нахождения можно стандартным образом исследовать функцию при помощи производной, а можно воспользоваться оценками 
и 
). Следовательно, множеством значений функции f является отрезок 
Значит, решение исходного уравнения существует тогда и только тогда, когда 
откуда и получаем ответ. 
получаем, что 
откуда следует, что число 
должно быть полным квадратом, 
Аналогично, 
причем 
и 
то 
