а) Решите уравнение
б) Числа выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что многочлен имеет действительные корни.
в) Докажите, что если a, b, c — длины сторон некоторого треугольника, то из отрезков длиной также можно составить треугольник.
г) Дан треугольник ABC. Докажите, что если то он либо равнобедренный, либо прямоугольный.
Решение. а)Обозначим тогда и уравнение примет вид
Иными словами, сумма расстояний от точки t до точек 1 и 3 на вещественной прямой равно 2, то есть расстоянию между точками 1 и 3, поэтому подходят все точки отрезка
Ответ:
б) Можно считать, что (поскольку вероятность события равна нулю). Тогда необходимо и достаточно выполнения условия то есть Рассмотрим на координатной плоскость с координатами график функции и вычислим площадь заштрихованной части (см рисунок)
При этом площадь всей области, откуда выбираются p и q, равна 4. Поэтому искомая вероятность равна
Ответ:
в) Докажите, что если a, b, c — длины сторон некоторого треугольника, то из отрезков длиной также можно составить треугольник.
Пусть c — самая большая сторона. По неравенству треугольника Проверим для самой большой из сторон неравенство треугольника
Докажем последнее неравенство. Возводя его в n — ую степень, получим что очевидно — раскрывая скобки в правой части по формуле бинома Ньютона, получим где все не выписанные слагаемые положительны.
г) Преобразуем равенство
Поделим на получим
Поскольку A и B углы треугольника, Более того, если то а и равенство невозможно. Итак, Аналогично
Тогда либо где и треугольник является равнобедренным; либо где
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
---|---|
Верное и полное выполнение задания | 3 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
Остальные случаи | 0 |
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |