PDF-версии: 
а) Найдите наименьшее положительное решение уравнения 
б) Найдите число решений уравнения 
в) Докажите, что уравнение 
имеет ровно два решения.
г) Найдите наибольшее по абсолютной величине значение выражения 
при 
Решение. а) Замена 
приводит к уравнению 
откуда 
Корнями последнего уравнения являются числа 2 и 
Поскольку функция 
возрастающая, а 
то отсюда и следует ответ.
Ответ: 
б) Два решения при 
одно — при 
(см. рис.).
в) Так как
то графики правой и левой частей данного уравнения выглядят так, как показано на рисунке. Строгое доказательство приведено в Дополнении.
Ответ: два корня.
г) Если 
тогда 
отсюда
Ответ: 576.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
два корня. 576. два корня. 576.
и 
связаны соотношениями 
и 
и 
— точки пересечения биссектрис его углов с описанной около него окружностью, 
с этой же окружностью, и 
Таким образом, 
Из свойств вписанных в окружность углов очевидно (см. рис.), что 
и т. д. Таким образом, последовательности углов рассматриваемых треугольников удовлетворяет соотношению предыдущего пункта, поэтому они имеют общий предел — 
более того, 
или 
целое, то при всех 
число 
также целое.
делится на 
(
— целая часть числа).
делится на многочлен 
то многочлен 
делится на 
Утверждение легко доказывается по индукции в силу тождества 
Единственное, что следует отметить, это то, что индукционное предположение заключается в справедливости утверждения для всех 
тогда 
так что 
поэтому число 
целое. Так как 
то 
поэтому 
значит, 
и 
— частное от деления многочлена 
будет многочлен 
амма (по одной каждого веса). Докажите, что ей не удастся разложить их по чашкам весов так, чтобы весы были в равновесии.
можно представить в виде суммы членов вида 
Поскольку в рассматриваемом случае ни один из коэффициентов при x не равен нулю (и является целым числом), то интеграл от каждого такого слагаемого равен нулю.
Тогда условия на длины кусков определяют неравенства 
и 
Искомая вероятность равна отношению площади треугольника с вершинами в точках с координатами 
и треугольника, определяемого системой из трех указанных неравенств (см. рисунок).