PDF-версии: 
а) Сколько решений в зависимости от a имеет уравнение
б) Докажите, что при любом натуральном n число 
делится на 
в) Докажите неравенство
где в числителе дроби 1994 квадратных корня, в знаменателе — 1993.
Решение. а) Действительно, функция 
убывает на луче 
возрастает на 
и
при любом 
Ответ: два решения при 
бесконечно много при 
и ни одного при 
б) Имеем:
поскольку единица является его корнем.Заметим, что данный многочлен имеет вид 
где 
и вообще утверждение задачи имеет следующее обобщение: если 
— многочлен, то 
делится на 
в) Положим 
(1993 квадратных корней). Далее,
поэтому исходное неравенство равносильно 
или 
что верно. Полезно также отметить, что данная дробь равна
что, очевидно, больше 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
бесконечно много при и ни одного при бесконечно много при и ни одного при 
лежащие в отрезке 
т. е. 
получаем неравенство 
или 
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
поэтому подходит только 
получаем неравенство 
то есть 
или 
Второй множитель всегда положителен, значит, 
Окончательно 
на отрезке 
убывает, принимая по одному разу все значения из промежутка 
а на промежутке 
возрастает, принимая по одному разу все значения из промежутка 
и при 
решений нет. При 
получим 
получим 
поэтому уравнение имеет два корня, а именно 
и 
откуда 
получим 
поэтому уравнение имеет один корень, а 
везде, где его еще нет и можно написать окончательный ответ. При 
и 
два решения 
при любом b, 
при 
при 
или 
Поделив на 
получим 
откуда 
Функция в левой части уравнения возрастает, а в правой — убывает, поэтому их графики пересекутся не более одного раза. Один корень можно угадать, это 
которые проходят через начало координат.
имеет решения?
касательная в точке 
имеет уравнение 
то есть 
Если эта прямая проходит через начало координат, то 
откуда 
и уравнение касательной имеет вид 
то 
—
поэтому графики 
и 
то корней очевидно нет. Пусть теперь 
Функция 
), поэтому прямые, проходящие ниже касательной при положительных x не будут пересекать ее график, а проходящие выше касательной — будут (см. рис.). При 
имеем 
поэтому там пересечений не будет. Окончательно 
Ясно, что 
не было корнем исходного уравнения. Тогда 
она примет вид 
поэтому 
и отрицательно при 
значит, эта функция возрастает при 
и убывает 
при 
при 
В частности 
поэтому такое значение при положительных x функция принимает дважды. Если же 
то 
нечетна. Значит, она при 
столько же раз, сколько при 
Это, очевидно, происходит один раз. Итого имеется три корня уравнения — по одному на промежутках 
—
Имеем 
отсюда ясно, что 
тогда 
то в левой части записано целое число, тогда в правой тоже должно быть целое число. Однако при возведении несократимой дроби в степень она не может стать сократимой, поэтому знаменатель ее будет равен 
а должен быть единицей, откуда 
и 
—
то аналогично можно записать уравнение в виде 
откуда ясно, что 
(а значит 
).
где b — натуральное. Ясно что 
подходит в уравнение. Это корень, лежавший на 
На 
есть всего два натуральных числа 
и 
они корнями не являются.
и уравнение 
принимает вид 
что невозможно, поскольку 
тоже иррациональный. Итого один рациональный корень.
может находиться в 
узлах сетки, т. е. для ее расположения имеются 
вариантов. Таким образом, всего имеются 
). Если n нечетно, то наборы этих типов не совпадают, поэтому искомые наборы составляют половину всех n-позиционных двоичных чисел и их 
При четном n 
при нечетном n и 
при четном.
время прихода Васи, а 
— Оли, 
Из условия задачи следует, что они встретятся, если 
или 
