Заголовок: Олимпиада абитуриентов естественно-научных факультетов СПбГУ, 1990 год, вариант 2
Комментарий:
Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ ОЛИМП» — математика
Вариант № 146

Олимпиада абитуриентов естественно-научных факультетов СПбГУ, 1990 год, вариант 2

1.  
i

а)   Изоб­ра­зи­те на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти мно­же­ство точек, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют не­ра­вен­ству

 синус левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка синус левая круг­лая скоб­ка x минус y пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0.

б)  Ре­ши­те урав­не­ние  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

в)  На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции. На­ри­суй­те гра­фик про­из­вод­ной этой функ­ции и дайте не­об­хо­ди­мые по­яс­не­ния.

г)  Две вер­ши­ны квад­ра­та, рас­по­ло­жен­но­го в пер­вом ко­ор­ди­нат­ном угле, имеют ко­ор­ди­на­ты  левая круг­лая скоб­ка a, 0 пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка 0, b пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты двух дру­гих вер­шин и по­ка­жи­те, что центр квад­ра­та лежит на бис­сек­три­се этого ко­ор­ди­нат­но­го угла.

Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус 2x плюс синус x.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =1.

б)  Най­ди­те число ре­ше­ний урав­не­ния f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =a, ле­жа­щих на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , в за­ви­си­мо­сти от дей­стви­тель­но­го па­ра­мет­ра a.

в)  Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний функ­ции f.

а)  По­ка­жи­те, что  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс y конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно ко­рень из x плюс ко­рень из y мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та при x, y\geqslant0.

б)  Еди­нич­ный квад­рат раз­де­лен двумя пря­мы­ми на че­ты­ре пря­мо­уголь­ни­ка. До­ка­жи­те, что про­из­ве­де­ние пло­ща­дей двух не­смеж­ных пря­мо­уголь­ни­ков не пре­вос­хо­дит  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 16.

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние про­из­ве­де­ния xy, если из­вест­но, что x в квад­ра­те плюс xy плюс y в квад­ра­те мень­ше или равно 1.

Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в квад­ра­те . Пусть t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Обо­зна­чим через S левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка сумму пло­ща­дей двух кри­во­ли­ней­ных тре­уголь­ни­ков, огра­ни­чен­ных гра­фи­ком функ­ции f, вер­ти­каль­ны­ми пря­мы­ми x=0, x=1 и го­ри­зон­таль­ной пря­мой, про­хо­дя­щей через точку гра­фи­ка с абс­цис­сой x=t.

а)  По­лу­чи­те явную фор­му­лу для функ­ции S левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции S.

в)  Вы­пол­ни­те пункт б) в слу­чае, если f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\ln левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .