Поиск
?
Всего: 44 1–20 | 21–40 | 41–44
Добавить в вариант
то 
расстояние на числовой прямой от x до ближайшего целого числа. (Например, 
Докажите, что найдётся натуральное число k такое, что 1) 
и 2) 
иррационально, ни одна точка xi не может совпасть с концом подотрезка. Ясно также, что если хоть одна из этих точек попала на подотрезок, отмеченный серым, то наше утверждение доказано. Поэтому предположим, что ни одна точка на эти крайние подотрезки не попала. Тогда получается, что наши 999 точек должны разместиться на 998 оставшихся подотрезках. Значит, существует хотя бы один подотрезок, внутрь которого попадут по крайней мере две точки xm и xn, 
Тогда 
Сережа задумал натуральное число n, не превосходящее 2019. Сначала он делит его с остатком на 202, получая неполное частное q1 и остаток r1. Затем на 
он делит с остатком число 
на 202, получая неполное частное qi и остаток 
Докажите, что
для всех k. Неравенство 
следует из того, что 
Пусть 
для некоторого i. Так как 
то 
Из этого следует, что 
Переход индукции доказан. 
равносильно тому, что для любого k выполнены неравенства 
получим 
выполняется равенство 
к правой части равенства (5). Получим цепочку равенств 
и 
28 баллов.
q1q2q3 ... qk) выражена через 
и 
далее из этого без доказательства делается вывод об искомом равенстве (оценка вышеуказанной разности отсутствует): 25 баллов.Всего: 44 1–20 | 21–40 | 41–44
сумму всех делителей числа n (включая само число). Для каких n выполняется неравенство 
?
но не делится на 
или, если записать это строго, при 
выполняется равенство 
— все остальные можно будет получить из них домножением на какое-то число x, не делящееся ни на 2, ни на 3.
a 
и меньше 9 при больших k. Осталось разобрать два случая: 
и 
При 
При 
правая часть не больше 10. Значит, 
При 
имеем: 
или 
где l — целое неотрицательно число, а x — натуральное число, не делящееся ни на 2, ни на 3.