Всего: 15 1–15
Добавить в вариант
Лугопарк имеет форму квадрата 12 × 12 км, разбитого на три полосы, шириной по 4 км. Одна из крайних полос покрыта снегом, другая — песком, а на средней полосе залит каток. Конькобежец бежит по льду со скоростью
Обозначим угол для оптимального движения в быстрой среде 
в средней среде 
в медленной среде 
Эти углы для спортсменов одинаковы. Расстояния, пройденные спортсменами в быстрой среде тоже одинаковы. Расстояния, пройденные спортсменами в средней среде одинаковы. Расстояния, пройденные спортсменами в медленной среде тоже одинаковы. 
в средней среде 
в медленной среде 
для всех спортсменов одинаково, 
для всех спортсменов одинаково, 
для всех спортсменов одинаково. Все спортсмены дойдут до противоположного угла за одинаковое время 
Значит, 
или 
Действительно: 
можно представить как произведение делителей 2007:
то 
В момент, когда Аня и Ира зашли на встречные эскалаторы, они оказались на ступеньках под одинаковыми номерами. Затем обе девочки шагали по ходу движения и в момент схода они снова оказались на ступеньках под одинаковыми номерами. Ступеньки обоих эскалаторов занумерованы снизу вверх (после последнего номера идет первый). Могло ли еще один раз произойти совпадение номеров ступенек, на которых в тот момент находились Аня и Ира?
Два игрока по очереди ставят цифры от 1 до 9 в свободные клетки квадрата 9 × 9. Тот, кто ставит первую цифру, может ставить только нечетные цифры. Он стремится сделать так, чтобы в каждой строчке, каждом столбце и каждом из 9 квадратов 3 × 3, на которые разбивается основной квадрат, все 9 цифр оказались различными. Второй может ставить только четные цифры или 9. Он старается помешать первому, однако не имеет права нарушать названные правила до тех пор, пока остается иная возможность. Кто из них достигнет своей цели, если будет действовать наилучшим образом?
правильных треугольников. Найдём высоту правильного треугольника со стороной 1
помещается 13 правильных треугольников. 
Назовем почти параллелограммом четырехугольник, направления противоположных сторон которого различаются меньше, чем на 1 градус. Окружность разбили на 2007 дуг, а точки деления соединили хордами. Можно ли утверждать, что среди них найдутся 4 хорды, точки пересечения которых лежат внутри круга и являются вершинами почти параллелограмма?
Петя последовательно выписывает натуральные числа от 1 до n в системе счисления с основанием k, ищет их общую сумму цифр S(n; k) и проверяет, не окажется ли она равной 2007. Меняя k, из подходящих вариантов он оставляет только те, в которых n окажется наименьшим возможным. При каких k это случится?
2007. Тогда сумма цифр имеет вид
Удалось установить, что сумма цифр всех чисел от 1 до n равна 2007 только для основания системы счисления 
и 
может быть равным либо 1, либо 3, либо 9 других возможностей нет при целых x. 
может быть равным либо 0, либо 1, либо 2. 
тогда 
тогда 
тогда 
Теперь можно уверенно утверждать, что существует ровно 2 целых решения −5 и −3 . 
следовательно, линий будет (квадратные скобки — целая часть) 
треугольников.Назовем почти параллелограммом четырехугольник, направления противоположных сторон которого различаются меньше, чем на 1 градус. Окружность разбили на 2007 дуг, а точки деления соединили хордами. Можно ли утверждать, что среди них найдутся 4 хорды, точки пересечения которых лежат внутри круга и являются вершинами почти параллелограмма?
что меньше чем 1°. Тогда возьмем на окружности 4 самые маленькие дуги. В самом худшем для нас случае (окружность поделилась нацело) угловые длины всех 4 дуг будут равны 0,18° градуса.
равны 2007?
Известная возможная функция, удовлетворяющая этому условию, это 
(экспоненциальная функция). Однако 
не равно 2007. Следовательно, вместо 
мы должны использовать функцию такого же вида, но с соблюдением условия равенства. Это может быть только функция 
Тогда 
при 
отсюда 
Значит, коэффициент k равен 
Итого итоговая функция f(x) выглядит следующим образом 
Если две окружности касаются третьей внутри, то расстояния между центрами равны соответственно: 3; 2 и 1. Итак, сразу было видно, что центры окружностей при таком построении лежат на одной прямой.Два игрока по очереди ставят цифры в свободные клетки квадрата 9 × 9. Тот, кто ставит первую цифру, может ставить только нечетные цифры. Он стремится сделать так, чтобы в каждой строчке, каждом столбце и каждом из 9 квадратов 3 × 3, на которые разбивается основной квадрат, все 9 цифр оказались различными. Второй может ставить только четные цифры и старается помешать первому. Однако он не имеет права нарушать названные правила до тех пор, пока остается иная возможность. Кто из них достигнет своей цели, если будет действовать наилучшим образом?
Тогда нечетных чисел у нас
Однако первый игрок ставит только нечетные цифры, а у него 41 ход. То есть 
Значит, 
То есть количество нечетных чисел ограничивает второй.