Всего: 18 1–18
Добавить в вариант
а на сторонах AB и BC — точки M и N такие, что MN и AC параллельны. Докажите, что точка P пересечения прямых MK и NL лежит на медиане треугольника ABC или на ее продолжении.
—
(как накрест лежащие), 
(как вертикальные), 
Значит, треугольники MOP и KDP подобны (по двум углам). Аналогично, подобны треугольники NOP и LDP. Получаем следующие соотношения:
—
(как вертикальные), 
Значит, треугольники ABD и MBO подобны (по двум углам). Аналогично, подобны треугольники CBD и NBO. Имеем:
т. е. 
Следовательно, BP — медиана (по определению медианы).На кольцевом троллейбусном маршруте движение начинается в 6 ч 00 мин и заканчивается в 21 ч 00 мин. В норме машины следуют с равными интервалами по 15 минут и проходят кольцо ровно за 1 час. Однажды
также должно быть целым. Имеем:
Это решение не подходит, 5 не является составным числом. 
Это решение не подходит, 3 не является составным числом. 
Это решение подходит.
Это решение не подходит, 7 не является составным числом. 
Это решение не подходит, 7 не является составным числом. 
Это решение не подходит, 7 не является составным числом. 
Это решение не подходит, 7 не является составным числом. Если последние три цифры числа2003 записать в обратном порядке, то получится 300. Именно 300 лет исполняется
точек.
Доказать, что 
— N.
число слагаемых 5: 
Если на плоском листе провести 4 прямые общего положения, то на получившемся чертеже можно найти 4 различных треугольника. Какое наименьшее число прямых нужно провести, чтобы на получившемся чертеже можно было найти 2003 различных треугольника?
Для пяти прямых кол-во треугольников вычисляется так: 
Отсюда 
мы имеем меньшее значение 
—
т. е. минимальное количество прямых равно 24.
Докажите, что проходящий через точку C перпендикуляр k прямой BD, восставленный в точке E перпендикуляр к прямой BE и биссектриса угла A пересекаются в одной точке.
Тогда видно, что для необходимости пересечения двух перпендикуляров и биссектрисы в одной точке требуется, чтобы 
Докажем это. Для этого проведем из угла биссектрису. Тогда получим равенство углов AOF и BKD; FOP и CBD как углов со взаимно перпендикулярными сторонами. Но так как BK — биссектриса прямого (по условию) угла ABC, то угол 
Следовательно, 
ч. т. д.
выражение 
принимает только положительные значения, то его можно отбросить. Таким образом, получаем две критические точки: 
и 
Знаки на промежутках зависят от знака выражения 
длина отрезка равна 
б) при 
длина отрезка равна 