Всего: 25 1–20 | 21–25
Добавить в вариант
число 
меньше 1000n, но не меньше 1000n − 10 поэтому его вторая и третья цифры равны 9 и одинаковы. При n = 11 и n = 12 число равно 10989 и 11988 и содержит одинаковые цифры, а вот при n = 13 число равно 12987 и не содержит в записи одинаковых цифр. Следовательно, n = 13 минимально и число 12987 является ответом задачи.Банкир выходит из дома, ровно в этот момент за ним приходит из банка машина, которая отвозит его в банк. Банкир выходит, а машина выезжает из банка всегда в одно и то же время, машина едет всегда с одной и той же постоянной скоростью. Однажды банкир вышел из дому на 55 минут раньше, чем обычно, и для прикола пошёл по дороге в сторону, противоположную банку. Машина догнала его и привезла в банк на 10 минут позже обычного. Найти отношение скоростей машины и банкира.
Доказать, что 
Обе части равенства неотрицательны, возводим в квадрат: 
Тогда 
что и требовалось доказатьНа отрезке АВ, как на диаметре, построен полукруг, в котором точка М — середина дуги АВ. На дуге ВМ выбрана произвольная точка К, отличная от B и М, через Р обозначена точка пересечения прямых АВ и МК. Пусть Т — точка пересечения прямой АК и перпендикуляра к прямой АВ, проведённого через точку Р. Докажите, что длины отрезков ВР и РТ равны.
Угол АKВ вписан в полукруг и опирается на его диаметр, поэтому он и смежный с ним угол ТKВ — прямые. В четырёхугольнике ВKТР углы K и Р прямые, поэтому он является вписанным. Следовательно, вписанные углы ТВР и ТKР равны, как опирающиеся на общую дугу ТР. В свою очередь, угол ТKР равен вертикальному с ним углу МKА, вписанному в исходную полуокружность, а угол МKА равен углу МВА. Угол МВА является углом при основании равнобедренного прямоугольного треугольника АМВ, значит, его величина равна 
Следовательно, и величина равного ему угла ТВР равна 
поэтому треугольник ВРТ является прямоугольным равнобедренным и его катеты ВР и РТ равны, что и требовалось доказать.В ряд слева направо лежат n монет. Известно, что две из них фальшивые, они лежат рядом, левая весит 9 граммов, правая 11 граммов, а все оставшиеся настоящие и каждая из них весит 10 граммов. Монеты взвешивают на чашечных весах, которые либо показывают, груз на какой их двух чашек тяжелее, либо находятся в равновесии, и тогда грузы на обеих чашках имеют одинаковый вес. При каком максимальном n можно за три взвешивания найти монету весом 11 граммов?
Поэтому нельзя однозначно сопоставить номер тяжёлой монеты определённому исходу трёх взвешиваний и найти её.
Значит, между соседними корабликами 3 км, и следующему кораблику останется проплыть именно столько, когда предыдущий уже приплывёт к Совунье. Скорость кораблика 10 км/ч, то есть 1 км за 6 минут, откуда 3 км будут пройдены корабликом за 18 минут, что и является ответом.
Оно должно делиться на 9. Значит, сумма a + b должна давать остаток 1 при делении на 9. При этом эта сумма не превосходит 13, так как состоит из разных однозначных слагаемых, которые меньше 8. Значит, эта сумма либо равна 1, либо 10. Наибольший вариант, подходящий под эти условия 9873 не подходит, так как не делится на 8. Следующий по старшинству 9864 очевидно подходит.
—1 балл.
так как FA — это медиана, равная половине стороны, к которой она проведена. Из этого следует, что 
Из равнобедренного прямоугольного треугольника CAE следует, что 
— 2 балла. Найден угол 
— 1 балл. Неважно, найден угол в 105° или в 75°.Компьютерная сеть Пентагона представляет собой 1000 компьютеров, некоторые пары из которых соединены проводами. Хакер Вася написал вирус, который каждую минуту заражает все компьютеры, напрямую соединённые проводом с уже заражёнными. Известно, что сеть устроена таким образом, что если Вася загрузит свой вирус на любой из компьютеров, то через некоторое время заражённой окажется вся сеть. Докажите, что хакер Вася может таким образом выбрать 90 компьютеров Пентагона, что если он загрузит на них вирус одновременно, то уже через 10 минут заражённой окажется вся сеть.
Возможны два случая.
то достаточно заразить вершину A10 (или любую другую, если даже десятой нет), и через 10 минут вся сеть окажется заражённой. Действительно, так как мы выбрали цепь наибольшей длины, то в этом случае нет вершин на расстоянии больше 10 от A10 (иначе можно бы было продлить путь до этой вершины до X или до Y). Поэтому этот случай тривиален.
то отделим от графа вершины 
и всех, кто связан с ними не через A11 (их не меньше 11). Среди отделённых вершин нет вершин на расстоянии больше 10 от A10 (иначе, опять-таки, мы бы получили противоречие с максимальностью цепи). Значит, если мы заразим A10, то вся отделённая часть окажется через 10 минут заражённой.
вершин, и останется не более 21 компьютера. Повторим для них те же самые рассуждения (но теперь заразим среднюю вершину в самом длинном пути), и получим, что мы как раз выбрали 90 компьютеров, и этого хватает.Лосяш идёт в гости к Совунье вдоль реки со скоростью 4 км/ч. Каждые полчаса он запускает бумажные кораблики, которые плывут к Совунье со скоростью 10 км/ч. С каким временным интервалом прибывают кораблики к Совунье? (Приведите полное
решение, а не только ответ.)
Катя написала на доске четырёхзначное число, которое делилось на каждую свою цифру без остатка (нулей в числе не было). Затем она стёрла в нём первую и последнюю цифры, и на доске осталось число 89. Что могло быть записано на доске изначально? Найдите все варианты и покажите, что других нет.
Очевидно, x = 6 подходит, а остальные числа, делящиеся на 8, в этот десяток уже не влезают. Всё число целиком кратно 9, значит, его сумма цифр кратна 9. Пока она равна 8 + 9 + 6 = 23. До ближайшего числа, кратного 9, не хватает 4, до следующего уже 13. Значит, это было число 4896. Так как оно делится на 8 и на 9 по построению, то оно так же делится и на 4 (так как 4 делитель 8), и на 6 (из делимости на 8 и на 9).Всеволод сложил из восьми одинаковых треугольников октаэдр (изображён на рисунке), после чего раскрасил каждый из составляющих его двенадцати отрезков в красный, синий или зелёный цвет. Оказалось, что во все шесть вершин октаэдра приходят отрезки каждого цвета. Сколько всего отрезков могло оказаться покрашено в зелёный цвет? Найдите все варианты и покажите, что других нет.
Тикток-хаус представляет собой квадрат 
из девяти комнат, в каждой из которых живёт по блогеру. В понедельник блогеры случайным образом поменялись комнатами, после чего каждые двя человекя, оказавшиеся в соседних по стороне комнатах, сняли в честь этого совместный тикток. Во вторник блогеры снова как-то поменялись комнатами и сняли тиктоки по тому же правилу, что и в проплый день. То же самое произошло и в среду. Докажите, что какие-то два блогера совместного тиктока так не сделали.
пар. За один день снимается, как легко проверить, 12 тиктоков. Значит, если все успели снять совместное видео, то каждый снимал с каждым тикток ровно 1 раз.
а середина совпадает с М.
удовлетворяет условию задачи тогда и только тогда, когда найдутся x и y такие, что точки 
и 
лежат на графике функции 
Последнее равносильно одновременному выполнению равенств 
и 
Оно разрешимо при 
или 
—
даёт нам единственную точку M — начало координат.
— все точки первого координатного угла, лежащие выше графика функции 
все точки третьего координатного угла, лежащие ниже графика функции 
в ответ не входят.
3 балла. 
либо 
либо a = b = 0 без объяснения геометрической структуры этого множества: 6 баллов.
Каждая клетка квадратной доски размера n на n окрашена в синий или красный цвет. Строка или столбец называются синеватой, если в ней синих клеток больше, чем красных. Соответственно, строка или столбец называются красноватой, если в ней красных клеток больше, чем синих. Какое максимальное значение может принимать сумма числа красноватых строк и числа синеватых столбцов при некоторой раскраске доски в зависимости от n?
красных клеток, а каждый синеватый столбец — не меньше 
отсюда следует 
Пример. Раскрасим левый нижний квадрат размера n − 1 на n − 1 клеток доски в синий и красный цвета в шахматном порядке, верхнюю строку в синий цвет, а правый столбец — в красный цвет. Тогда n − 1 нижних строк будут красноватыми, а n − 1 левый столбец — синеватыми.
красных клеток, а каждый синеватый столбец — не меньше 
отсюда следует 
Пример. Раскрасим левый нижний квадрат размера n − 2 на n − 2 клеток доски в синий и красный цвета в шахматном порядке, две верхних строки в синий цвет, а два правых столбца — в красный цвет. Тогда n − 2 нижних строки будут красноватыми, а n − 2 левых столбца — синеватыми. 
значение 2 = 2 + 0 достигается при окраске всех клеток доски в красный цвет (или наоборот в синий цвет). При n = 4 по формуле 
значение 5 = 4 + 1 достигается при окраске трёх левых столбцов в красный цвет и правого — в синий. Наконец, при n = 6 по формуле 
Для достижения оценки 9 = 6 + 3 окрасим в красный цвет все клетки трёх левых столбцов, а также первую и вторую снизу клетки четвёртого, третью и четвёртую снизу клетки пятого, пятую и шестую снизу клетки шестого столбцов. Остальные 12 клеток красим в синий.
то 
1 балл. 
балл. 
целое, то оно делится на 60.
Делимость на 60 равносильна одновременной делимости на 4, 3 и 5. Поэтому рассмотрим остатки от деления чисел x, y на эти числа, и тому, при каком сочетании этих остатков целым будет число 
делится на 5. В двух других случаях остатки от деления x2 + y2 на 5 равны 2 или 3, что не равно 0,1 или 4, поэтому x2 + y2 не является квадратом и целый корень квадратный из него не извлекается, то есть эти случаи не подпадают под условия задачи. 
или 
Тогда 
на 8 равен 5. Однако легко заметить, что остаток от деления квадрата числа на 8 может равняться 0, 1, 4, поэтому 
таковы, что 
и 
Докажите, что тогда 
относительно переменной t, корнями которого являются действительные числа 
Раскроем скобки в левой части уравнения: 
где p = –xyz. Исследуем функцию 
из левой части уравнения. Находим производную 
её корнями являются t1 = 1 и t2 = 3. На интервалах 
и 
она положительна, и на них функция возрастает, на интервале (1, 3) она отрицательна и функция убывает. Следовательно, t1 = 1 точка локального максимума функции, а t2 = 3 — точка локального минимума. Уравнение имеет три корня только при выполнении следующих условий:
следовательно, знаки чисел f(0), f(1), f(3), f(4) чередуются, начиная с минуса. Поэтому первый корень уравнения x принадлежит отрезку 
второй корень y принадлежит отрезку 
а третий корень z — отрезку 
что и требовалось доказать.
и 
относительно переменной t с параметром x. Рассмотрим квадратичную функцию 
Уравнение f(t) = 0 имеет два различных действительных корня y < z, поэтому значение 
Рассуждение данного пункта, проведённое относительно x можно повторить относительно остальных переменных, поскольку оно не использует условия x < y < z. Следовательно, мы доказали, что 0 < x, y, z < 4.
поэтому 
С другой стороны, 
откуда x < 2. Кроме того, 
и возрастает на интервале (3, 4).
поэтому корень y лежит в интервале 
В частности, y > 1. С другой стороны
отрицательно при всех 0 < x < 1, поэтому корень z лежит в интервале (3, 4).