Каж­дый лжец дру­жит хотя бы с одним ры­ца­рем. Но так как каж­дый ры­царь дру­жит ровно с одним лже­цом, у двух лже­цов не может быть об­ще­го друга-ры­ца­ря. Тогда каж­до­му лжецу можно по­ста­вить в со­от­вет­ствие его друга ры­ца­ря, от­ку­да по­лу­ча­ет­ся, что ры­ца­рей, по край­ней мере, столь­ко же, сколь­ко и лже­цов. Так как всего жи­те­лей на ост­ро­ве нечётное число, то ра­вен­ство не­воз­мож­но. Зна­чит, ры­ца­рей боль­ше.

Ответ: ры­ца­рей боль­ше.

Если бы пер­вый ост­ро­ви­тя­нин был ры­ца­рем, то своим от­ве­том он бы со­лгал, чего не может быть. Сле­до­ва­тель­но, пер­вый  — лжец и всего ры­ца­рей на ост­ро­ве не боль­ше 19. Зна­чит, два­дца­тый ост­ро­ви­тя­нин своим от­ве­том ска­зал прав­ду, по­это­му он ры­царь, в част­но­сти, на ост­ро­ве не мень­ше од­но­го ры­ца­ря. Тогда, если бы вто­рой ост­ро­ви­тя­нин ока­зал­ся ры­ца­рем, их вме­сте с два­дца­тым было бы уже два, и он бы со­лгал, зна­чит, вто­рой  — лжец и всего ры­ца­рей не боль­ше 18. По­это­му де­вят­на­дца­тый ска­зал прав­ду и он  — ры­царь. Про­дви­га­ясь так даль­ше, не­слож­но убе­дить­ся, что все ост­ро­ви­тя­не с пер­во­го по де­ся­то­го  — лжецы, а все с 11-ого по 20-ого  — ры­ца­ри.

Ответ: 10.

По­сколь­ку есть хотя бы один ры­царь, а у него есть хотя бы 15 зна­ко­мых ры­ца­рей, ры­ца­рей хотя бы 16. 16 ры­ца­рей зна­ко­мы в сумме хотя бы со 176 лже­ца­ми; в этой сумме каж­дый лжец по­счи­тан не более 14 раз, так как лжецы лгут насчёт хотя бы 15 ры­ца­рей, то есть у них не более 14 зна­ко­мых ры­ца­рей у каж­до­го. Это зна­чит, что лже­цов хотя бы то есть хотя бы 13.

При­мер оче­вид­но су­ще­ству­ет и не един­стве­нен. На­при­мер: 16 ры­ца­рей зна­ко­мы между собой, 13 лже­цов между собой не зна­ко­мы; лжец с но­ме­ром n зна­ком с ры­ца­ря­ми с но­ме­ра­ми кроме n и n + 1. Тогда ры­царь номер 16 знает 12 лже­цов, ры­ца­ри 1 и 15 знают по 11 лже­цов, осталь­ные по 10.

Ответ: 29.

По­сколь­ку есть хотя бы один ры­царь, а у него есть хотя бы 14 зна­ко­мых ры­ца­рей, ры­ца­рей хотя бы 15. Тогда 15 ры­ца­рей зна­ко­мы в сумме хотя бы со 150 лже­ца­ми; в этой сумме каж­дый лжец по­счи­тан не более 13 раз, так как лжецы лгут насчёт хотя бы 14 ры­ца­рей, то есть у них не более 13 зна­ко­мых ры­ца­рей у каж­до­го. Это зна­чит, что лже­цов хотя бы то есть хотя бы 12.

При­мер оче­вид­но су­ще­ству­ет и не един­стве­нен. На­при­мер: 15 ры­ца­рей зна­ко­мы между собой, 12 лже­цов между собой не зна­ко­мы; лжец с но­ме­ром n зна­ком с ры­ца­ря­ми с но­ме­ра­ми кроме n и Тогда ры­царь номер 15 знает 12 лже­цов, ры­ца­ри 1 и 14 знают по 11 лже­цов, осталь­ные по

Ответ: 27.

Для каж­дой трой­ки, со­сто­я­щей из дамы и двух её зна­ко­мых ры­ца­рей, про­изойдёт один по­еди­нок. Что ка­са­ет­ся цве­тов, то пер­вый ры­царь по­да­рит даме один цве­ток за зна­ком­ство со вто­рым, а вто­рой за зна­ком­ство с пер­вым, то есть их будет два.

Ответ: цве­тов боль­ше в два раза.

Для каж­дой трой­ки из ху­дож­ни­ка A и двух фо­то­гра­фов B и C можно найти фо­то­гра­фию A и C, сде­лан­ную B, фо­то­гра­фию B и A, сде­лан­ную C и порт­рет B и C, на­пи­сан­ный A. По­лу­ча­ет­ся, что фо­то­гра­фий в два раза боль­ше.

Ответ: фо­то­гра­фий в 2 раза боль­ше.

За­ме­тим, что ни­ка­кие два ры­ца­ря не могут си­деть рядом, то есть со­се­ди каж­до­го ры­ца­ря  — лжецы. Дей­стви­тель­но, рас­смот­рим це­поч­ку си­дя­щих под­ряд ры­ца­рей, окру­жен­ных лже­ца­ми. Пред­по­ло­жим, что в этой це­поч­ке хотя бы два ры­ца­ря. Со­се­ди край­не­го ры­ца­ря  — ры­царь и лжец, но это не­воз­мож­но, по­сколь­ку тогда ры­царь со­лгал. Сле­до­ва­тель­но, ни­ка­кие два ры­ца­ря не сидят рядом и со­се­ди каж­до­го ры­ца­ря лжецы.

На­зо­вем тех лже­цов, ко­то­рые не ошиб­лись, на­сто­я­щи­ми лже­ца­ми. По усло­вию со­се­ди каж­до­го на­сто­я­ще­го лжеца из раз­ных пле­мен. По­это­му со­се­ди на­сто­я­щих лже­цов обя­за­тель­но ры­царь и лжец. Зна­чит, це­поч­ка ЛРЛЛРЛ...ЛРЛ по­вто­ря­ет­ся до тех пор, пока не на­ты­ка­ет­ся на не­на­сто­я­ще­го лжеца. Если до него сидит ры­царь, то после него также ры­царь. Если до него сидит лжец, то и после него сидит лжец. Сле­до­ва­тель­но, рас­сад­ка с не­на­сто­я­щи­ми лже­ца­ми может быть по­лу­че­на из рас­сад­ки «ЛРЛЛРЛ...ЛРЛ» с по­мо­щью либо по­сад­ки не­на­сто­я­ще­го лжеца между двумя лже­ца­ми, либо вы­хо­ду из-за стола на­сто­я­ще­го лжеца (и тогда его сосед-лжец пре­вра­тит­ся в не­на­сто­я­ще­го). Пер­вое дей­ствие уве­ли­чи­ва­ет оста­ток от де­ле­ния об­ще­го ко­ли­че­ства си­дя­щих за сто­лом на 1, вто­рое  — умень­ша­ет на 1. По­сколь­ку в рас­сад­ке «ЛРЛЛРЛ...ЛРЛ» ко­ли­че­ство ост­ро­ви­тян де­лит­ся на 3, а 2017 дает оста­ток 1 при де­ле­нии на 3, нам надо оста­ток 0 два­жды умень­шить на 1. Таким об­ра­зом, надо из рас­сад­ки 2019 ост­ро­ви­тян убрать двоих лже­цов. Стало быть, ко­ли­че­ство лже­цов равно

Ответ: 1344 лжеца.

Если в ком­на­те есть лжец, то его фраза «среди моих зна­ко­мых в этой ком­на­те не более семи ры­ца­рей»  — ложь и в ком­на­те не менее 8 ры­ца­рей. Если в ком­на­те есть ры­царь, то его фраза «среди моих зна­ко­мых в этой ком­на­те ровно шесть лже­цов» верна и в ком­на­те не менее 6 лже­цов. Сле­до­ва­тель­но, в ком­на­те есть и ры­ца­ри и лжецы, при­чем ры­ца­рей не менее 8, а лже­цов не менее 6. Зна­чит, ры­ца­рей не более Пред­по­ло­жим, что ры­ца­рей ровно 8. Тогда в ком­на­те 7 лже­цов и у каж­до­го из них более 7 зна­ко­мых ры­ца­рей. По­это­му каж­дый из них зна­ком со всеми на­хо­дя­щи­ми­ся в ком­на­те ры­ца­ря­ми. Зна­чит, и каж­дый ры­царь зна­ком со всеми на­хо­дя­щи­ми­ся в ком­на­те лже­ца­ми, то есть у него 7 зна­ко­мых лже­цов. Но тогда он ска­зал не­прав­ду. По­это­му 8 ры­ца­рей быть не может. Стало быть, в ком­на­те 9 ры­ца­рей. Такая си­ту­а­ция воз­мож­на, если каж­дый ры­царь знает каж­до­го лжеца, а боль­ше никто ни с кем не зна­ком.

Ответ: 9 ры­ца­рей.

Пусть среди фа­на­тов «Су­перор­лов» и среди фа­на­тов «Су­перль­вов» по k лже­цов. Тогда всего лже­цов ровно 2k, т. е. фраза «спра­ва от меня фанат «Су­перор­лов»» чет­ное число раз была ложью. Таким об­ра­зом, чет­ное число раз пра­вым со­се­дом был фанат «Су­перль­вов». Но такое не­воз­мож­но, по­сколь­ку всего их не­чет­ное число.

Ответ: нет.

За­ме­тим, что три ры­ца­ря не могут си­деть под­ряд, по­сколь­ку тогда сред­ний ры­царь не мог про­из­не­сти ни одну из тре­бу­е­мых фраз. Обо­зна­чим через k ко­ли­че­ство пар со­сед­них ры­ца­рей. Тогда каж­дый из ры­ца­рей про­из­нес фразу «среди моих со­се­дей ровно один лжец», по­это­му Кроме того, левее этой пары за­ве­до­мо сидит лжец, и все эти лжецы раз­ные. На­зо­вем таких двух ры­ца­рей и лжеца трой­кой. В трой­ках за­дей­ство­ва­но ост­ро­ви­тян. Рас­смот­рим остав­ших­ся ост­ро­ви­тян. Ни­ка­кие два ры­ца­ря среди них не сидят рядом друг с дру­гом, а также рядом с ры­ца­ря­ми из трой­ки (иначе об­ра­зу­ют­ся три ры­ца­ря под­ряд, что не­воз­мож­но). Тогда левее каж­до­го ры­ца­ря дол­жен си­деть лжец, все эти лжецы раз­ные и от­лич­ны от лже­цов, вхо­дя­щих в трой­ки. Таким об­ра­зом, ры­ца­рей не боль­ше, чем

Стало быть, ры­ца­рей не боль­ше 67.

При­ве­дем при­мер, по­ка­зы­ва­ю­щий, что 67 ры­ца­рей могут быть:

блок «ЛРР» по­вто­ря­ет­ся 25 раз, блок «Л»  — 12 раз.

Ответ: 67.

а) 1) Возьмём стар­ше­го по воз­рас­ту лжеца. Он го­во­рит, что не найдётся и 20-ти че­ло­век, ко­то­рые его стар­ше, но он лжёт. Сле­до­ва­тель­но, найдётся, по край­ней мере, 20 че­ло­век стар­ше его, и, по­сколь­ку он самый стар­ший из лже­цов, все эти 20 че­ло­век  — ры­ца­ри. Сле­до­ва­тель­но, ры­ца­рей не менее 20-ти че­ло­век.

2)  А те­перь рас­смот­рим са­мо­го мо­ло­до­го ры­ца­ря. Он го­во­рит, что не найдётся и 20-ти че­ло­век, ко­то­рые его стар­ше, и он го­во­рит прав­ду. Сле­до­ва­тель­но, стар­ше него может быть мак­си­мум 19 че­ло­век. Плюс он сам  — ры­царь. Сле­до­ва­тель­но, ры­ца­рей не может быть более 20-ти че­ло­век.

Из пунк­тов 1) и 2) сле­ду­ет, что ры­ца­рей ровно 20 че­ло­век.

б) 3) Среди ры­ца­рей возьмём того, ко­то­рый решил боль­ше всего задач. Он ска­зал, что, по край­ней мере, 15 че­ло­век ре­ши­ли задач боль­ше, чем он. Так как он  — ры­царь, то это прав­да. Причём все 15 че­ло­век  — лжецы. Сле­до­ва­тель­но, лже­цов не менее 15-ти че­ло­век.

4)  Среди лже­цов возьмём того, ко­то­рый решил мень­ше всего задач. Он ска­зал, что, по край­ней мере, 15 че­ло­век ре­ши­ли задач боль­ше, чем он, но он лжёт, сле­до­ва­тель­но, боль­ше него задач ре­ши­ли не более 14-ти че­ло­век. Плюс он сам  — лжец. Сле­до­ва­тель­но, лже­цов не может быть боль­ше 15-ти че­ло­век.

Из пунк­тов 3) и 4) сле­ду­ет, что лже­цов  — ровно 15 че­ло­век.

Вывод: на кру­жок хо­ди­ли 20 ры­ца­рей и 15 лже­цов, всего 35 че­ло­век.

Ответ: 35 че­ло­век.

Пусть r_С, r_З, r_Ю и r_В  — число ры­ца­рей, со­от­вет­ствен­но, в Се­вер­ном, За­пад­ном, Южном и Во­сточ­ном окру­гах, l_С, l_З, l_Ю и l_В  — ана­ло­гич­но для лже­цов. Со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний:

На­при­мер, на во­прос, «Вы живёте в За­пад­ном окру­ге?» ска­за­ли «да» ры­ца­ри За­пад­но­го окру­га и лжецы Се­вер­но­го, Юж­но­го и Во­сточ­но­го окру­гов (урав­не­ние  (2)).

Из урав­не­ния  (б) вы­ра­жа­ем а из урав­не­ния  (в) и под­став­ля­ем в урав­не­ние  (г):

от­ку­да

При­ба­вим к урав­не­нию  (1) по­лу­чим

то есть l_З + l_Ю + l_В + l_С  =  640.

Из урав­не­ния  (а):

от­ку­да

Сло­жим урав­не­ние  (5) с по­лу­чим

то есть r_С + r_Ю + r_В + r_З  =  660.

Таким об­ра­зом, в го­ро­де Ма­те­ма­тин­ске про­жи­ва­ют 660 ры­ца­рей. Всего в Ма­те­ма­тин­ске 640 + 660  =  1300 жи­те­лей.

Ответ: а) 640 лже­цов, б) 1300 жи­те­лей.

Пусть r_М, r_Ф, r_И и r  — число ры­ца­рей, по­се­ща­ю­щих круж­ки ма­те­ма­ти­ки, фи­зи­ки, ин­фор­ма­ти­ки и химии со­от­вет­ствен­но l_М, l_Ф, l_И и l_Х  — ана­ло­гич­но для лже­цов. Со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний:

На­при­мер, «да» на во­прос, «Вы по­се­ща­е­те кру­жок фи­зи­ки?» от­ве­тят ры­ца­ри-фи­зи­ки, лжецы-ма­те­ма­ти­ки, лжецы-ин­фор­ма­ти­ки, и лжецы-хи­ми­ки (урав­не­ние (2)).

Из (б) и (в) вы­ра­жа­ем и под­став­ля­ем в (г), по­лу­ча­ем:

от­ку­да а

При­ба­вив к урав­не­нию  (1) по­лу­ча­ем:

то есть

Из урав­не­ния  (а):

При­ба­вив к урав­не­нию  (5) по­лу­ча­ем:

то есть   — число ры­ца­рей в учеб­ном цен­тре.

Всего уча­щих­ся: че­ло­век.

Ответ: а)  275 лже­цов, б)  560 че­ло­век.

Всего на три за­дан­ных во­про­са было дано от­ве­та «да». За­ме­тим, что т. к. каж­дый жи­тель ска­зоч­но­го го­су­дар­ства живёт ровно на одном ост­ро­ве, то если бы каж­дый Жи­тель был бы ры­ца­рем (т. е. го­во­рил толь­ко прав­ду, то число от­ве­тов «да» было бы равно числу жи­те­лей го­су­дар­ства (ры­царь го­во­рит «да» толь­ко один раз в си­ту­а­ции, когда речь идёт об ост­ро­ве, на ко­то­ром он живёт). А вот если бы каж­дый жи­тель го­су­дар­ства был лже­цом, то от­ве­тов «да» было бы ровно в два раза боль­ше, чем жи­те­лей ост­ро­ва (т. к. каж­дый жи­тель-лжец ост­ро­ва го­во­рит «да» ровно два раза (когда речь идёт об ост­ро­вах, на ко­то­рых он не живёт). Сле­до­ва­тель­но, число лже­цов ска­зоч­но­го го­су­дар­ства равно раз­но­сти между чис­лом от­ве­тов «да» и чис­лом жи­те­лей го­су­дар­ства, т. е. 142−100  =  42. После очи­ща­ю­ще­го дождя лжецы ост­ро­ва А стали го­во­рить прав­ду, зна­чит, если рань­ше на во­прос «Вы живёте на ост­ро­ве В» они от­ве­ча­ли «да», то те­перь на этот во­прос они от­ве­тят «нет». Зна­чит, число лже­цов ост­ро­ва А равно раз­но­сти числа от­ве­тов «да» при пер­вом и вто­ром опро­сах (т. е. 38−27  =  11). Ана­ло­гич­но, число лже­цов ост­ро­ва С равно 38−29  =  9. Сле­до­ва­тель­но, сум­мар­ное число лже­цов на ост­ро­вах А и С равно 11 + 9  =  20. А так как всего в го­су­дар­стве 42 лжеца, то на ост­ро­ве В про­жи­ва­ют 42−20  =  22 лжеца.

Ответ: 22 лжеца.

Всего на три за­дан­ных во­про­са было дано 68+59+46  =  173 от­ве­та «да». За­ме­тим, что т. к. каж­дый жи­тель го­ро­да Ка­ши­но живёт ровно в одном рай­о­не, то если бы каж­дый жи­тель был бы ры­ца­рем (т. е. го­во­рил толь­ко прав­ду, то число от­ве­тов «да» было бы равно числу жи­те­лей го­ро­да (ры­царь го­во­рит «да» толь­ко один раз в си­ту­а­ции, когда речь идёт о рай­о­не, в ко­то­ром он живёт). А вот если бы каж­дый жи­тель го­ро­да был лже­цом, то от­ве­тов «да» было бы ровно в два раза боль­ше, чем жи­те­лей го­ро­да (т. к. каж­дый жи­тель-лжец го­ро­да го­во­рит «да» ровно два раза, когда речь идёт о рай­о­нах, в ко­то­рых он не живёт). Сле­до­ва­тель­но, число лже­цов го­ро­да Ка­ши­но равно раз­но­сти между чис­лом от­ве­тов «да» и чис­лом жи­те­лей го­су­дар­ства, т. е. 173−120  =  53. После того, как в рай­о­не Ман­ки­но по­бы­вал док­тор Ай­бо­лит, все жи­те­ли рай­о­на стали го­во­рить прав­ду, зна­чит, если рань­ше на во­прос «Вы живёте в рай­о­не Ов­сян­ки­но?» они от­ве­ча­ли «да», то те­перь на этот во­прос они от­ве­тят «нет». Зна­чит, число лже­цов рай­о­на Ман­ки­но равно раз­но­сти числа от­ве­тов «да» при пер­вом и вто­ром опро­сах (т. е. 59−34  =  25). Ана­ло­гич­но число лже­цов в Греч­ки­но равно 59−43=16. Сле­до­ва­тель­но, сум­мар­ное число лже­цов в рай­о­нах Ман­ки­но и Греч­ки­но равно 25+16  =  41. А так как всего в го­ро­де 53 лжеца, то в рай­о­не Ов­сян­ки­но про­жи­ва­ют 53−41  =  12 лже­цов.

Ответ: 12 лже­цов.

Ответ: пер­вый  — ры­царь, вто­рой  — лжец. Го­во­ря­щий не может быть лже­цом, иначе он ска­зал бы прав­ду.

Если за сто­лом боль­ше двух ры­ца­рей, то какие-то два из них не со­се­ди и ни один из них не может ска­зать, что все за сто­лом, кроме, может быть, него и его со­се­дей, лжецы, ибо это будет ложью. Если за сто­лом один ры­царь, то для лю­бо­го лжеца, со­сед­не­го с ним, эта же фраза будет прав­дой, ко­то­рую ему го­во­рить не по­ло­же­но. Тоже самое будет верно для лю­бо­го лжеца, если за сто­лом во­об­ще нет ры­ца­рей.

Ответ: два.

Пред­по­ло­жим, что вос­ста­но­вить чет­ность ко­ли­че­ства ры­ца­рей в ко­лон­не нель­зя. Это озна­ча­ет, что для не­ко­то­ро­го на­бо­ра от­ве­тов эль­фов су­ще­ству­ет не менее двух ва­ри­ан­тов того, кто из них ры­царь, а кто лжец, и при этом ва­ри­ан­ты от­ли­ча­ют­ся чётно­стью ко­ли­че­ства ры­ца­рей. Пусть в пер­вом ва­ри­ан­те ока­за­лось чётное число ры­ца­рей, тогда во вто­ром  — нечётное.

Назовём ин­вер­си­ей опе­ра­цию за­ме­ны од­но­го ры­ца­ря на лжеца или на­о­бо­рот. За­ме­тим, что ин­вер­сия од­но­го лю­бо­го эльфа из­ме­ня­ет чётность числа ры­ца­рей, зна­чит, для по­лу­че­ния вто­ро­го на­бо­ра эль­фов из пер­во­го нужно при­ме­нить ин­вер­сию нечётное число раз. Рас­смот­рим про­из­воль­но­го ин­вер­ти­ро­ван­но­го эльфа. Его ответ может сме­нить­ся толь­ко при его ин­вер­ти­ро­ва­нии и при ин­вер­ти­ро­ва­нии эльфа, лицо ко­то­ро­го об­ра­ще­но к дан­но­му. По­сколь­ку от­ве­ты эль­фов во вто­ром на­бо­ре такие же, как и в пер­вом, а при ин­вер­ти­ро­ва­нии эльф ме­ня­ет ответ на про­ти­во­по­лож­ный, то среди эль­фов, лица ко­то­рых об­ра­ще­ны к дан­но­му, ин­вер­ти­ро­ван­ны­ми долж­ны ока­зать­ся нечётное их ко­ли­че­ство.

Рас­смот­рим граф, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся ин­вер­ти­ро­ван­ные эльфы, а рёбра со­еди­ня­ют пары эль­фов, смот­ря­щих друг на друга. Из вы­ше­ска­зан­но­го сле­ду­ет, что вер­шин в графе нечётное число, и сте­пень каж­дой вер­ши­ны также яв­ля­ет­ся нечётным чис­лом. Но по лемме о ру­ко­по­жа­ти­ях сле­ду­ет, что та­ко­го графа не су­ще­ству­ет. Зна­чит, наше пред­по­ло­же­ние оши­боч­но, и чётность ко­ли­че­ства ры­ца­рей в ко­лон­не вос­ста­нав­ли­ва­ет­ся од­но­знач­но.

Ответ: да, можно.

В одном селе не могут жить хотя бы два ры­ца­ря, так как иначе бы 5 ры­ца­ри со­лга­ли. Также в селе не могут все быть лже­ца­ми, по­сколь­ку тогда бы эти лжецы ска­за­ли прав­ду. Зна­чит, в каж­дом селе ровно один ры­царь, и всего ры­ца­рей 10, а лже­цов  — 990.

Ответ: 990.

Если на ост­ро­ве живёт n че­ло­век, то всего было от­прав­ле­но писем, а по усло­вию это число равно Сле­до­ва­тель­но, на ост­ро­ве живёт 8 че­ло­век.

Пусть x  — ко­ли­че­ство ры­ца­рей, жи­ву­щих на ост­ро­ве, тогда лже­цов там Фраза «Ты ры­царь!» могла быть на­пи­са­на толь­ко в пись­мах от ры­ца­ря к ры­ца­рю или от лжеца к лжецу. По­лу­ча­ет­ся урав­не­ние

Таким об­ра­зом, либо либо Не­труд­но про­ве­рить, что оба слу­чая нам под­хо­дят.

Ответ: 5.