РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Поиск
?

в условии в решении в тексте к заданию в атрибутах
Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 6 7 8 9
Атрибут

Всего: 114 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Тип 21 № 297 Добавить в вариант

Имеются таблицы А и В, в ячейки которых вписаны целые числа. С таблицей А можно проделывать следующие действия: 1) прибавлять к строке другую строку, умноженную на произвольное целое число; 2) прибавлять к столбцу другой столбец, умноженный на произвольное целое число. (Например, если к первой строке таблицы A прибавить третью строку, умноженную на 2, то получится таблица, изображенная на рисунке под словом пример.) Можно ли, проделав некоторое количество указанных действий с таблицей А, получить таблицу B? Ответ обоснуйте.

Таблица A

1	0	0	0	0
0	3	0	0	0
0	0	3	0	0
0	0	0	6	0
0	0	0	0	6

Таблица B

0	0	0	0	1
0	0	0	2	0
0	0	3	0	0
0	6	0	0	0
9	0	0	0	0

Пример

1	0	6	0	0
0	3	0	0	0
0	0	3	0	0
0	0	0	6	0
0	0	0	0	6

Решение.

Для таблицы 2 на 2 вида $левая круглая скобка \beginarraylla b c d\endarray правая круглая скобка ,$ где $a, b, c, d принадлежит R$ число ad – bc будем называть определителем этой таблицы. Пусть в составленной из целых чисел таблице

$левая круглая скобка \beginarraylllll a_11 a_12 a_13 a_14 a_15 a_21 a_22 a_23 a_24 a_25 a_31 a_32 a_33 a_34 a_35 a_41 a_42 a_43 a_44 a_45 a_51 a_52 a_53 a_54 a_55 \endarray правая круглая скобка \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

у любой подтаблицы размера 2 на 2 (то есть подтаблицы вида

$левая круглая скобка \beginarraycca_i, j a_i, j плюс k a_i плюс k, j a_i плюс k, j плюс k\endarray правая круглая скобка ,$

где $i, j, i плюс k, j плюс k принадлежит левая фигурная скобка 1, \ldots, 5 правая фигурная скобка правая круглая скобка$ определитель делится на целое число m. Проделаем с таблицей (1) одно из указанных в задаче действий. Тогда у получившейся в результате таблицы определитель любой ее подтаблицы размера 2 на 2 также будет на m. Действительно, проведем доказательство данного факта для действия 1 из условия задачи (для столбцов доказательство аналогично). Пусть, без ограничения общности, к первой строке прибавляется вторая, умноженная на целое число b:

$левая круглая скобка \beginarrayccccc a_11 плюс b a_21 a_12 плюс b a_22 a_13 плюс b a_23 a_14 плюс b a_24 a_15 плюс b a_25 a_21 a_22 a_23 a_24 a_25 a_31 a_32 a_33 a_34 a_35 a_41 a_42 a_43 a_44 a_45 a_51 a_52 a_53 a_54 a_55 \endarray правая круглая скобка . \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

В получившейся таблице, все подтаблицы 2 на 2, не содержащие элементы первой строки таблицы (2), остались без изменения, и потому их определитель, естественно, на m по-прежнему делится. Поэтому проверим, что в таблице (2) определители подтаблиц 2 на 2, включающие элементы первой строки, делятся на m. Это нужно проверить в двух случаях: 1) подтаблица 2 на 2 составлена из элементов первой и второй строки таблицы (2) и 2) таблица 2 на 2 составлена из элементов первой и еще какой-то (отличной от второй) строки таблицы (2).

Случай 1. Определитель таблицы

$левая круглая скобка \beginarrayccca_11 плюс b a_21 a_12 плюс b a_22 a_21 a_22\endarray правая круглая скобка$

равен

$a_22 левая круглая скобка a_11 плюс b a_21 правая круглая скобка минус a_21 левая круглая скобка a_12 плюс b a_22 правая круглая скобка =a_11 a_22 минус a_21 a_12,$

что совпадает с определителем соответствующей подтаблицы таблицы (1), а значит делится на m по условию.

Случай 2. Рассмотрим подтаблицу, составленную из элементов первой и, например, третьей строки:

$левая круглая скобка \beginarraycca_11 плюс b a_21 a_12 плюс b a_22 a_31 a_32\endarray правая круглая скобка .$

Ее определитель

$a_32 левая круглая скобка a_11 плюс b a_21 правая круглая скобка минус a_31 левая круглая скобка a_12 плюс b a_22 правая круглая скобка \qquad левая круглая скобка 3 правая круглая скобка$

равен

0	0	0	0	1
0	0	0	2	0
0	0	3	0	0
0	6	0	0	0
9	0	0	0	0

$a_32 a_11 минус a_31 a_12 плюс b левая круглая скобка a_32 a_21 минус a_31 a_22 правая круглая скобка .$

Числа $a_32 a_11 минус a_31 a_12$ и $a_32 a_21 минус a_31 a_22$ представляют собой определи подтаблиц таблицы (1), а значит, делятся на m. Следовательно, на m делится и определитель (3).

Остается заметить, что определители всех подтаблиц 2 на 2 таблицы А делятся на 3, в то время как таблица В содержит подтаблицу (выделена серым), определитель которой на 3 не делится. Значит, получить таблицу В из таблицы А указанными действиями нельзя.

Ответ: нет, нельзя.

Решение · Помощь

Тип 21 № 331 Добавить в вариант

Натуральные числа от 1 до 100 записали подряд без пробелов. Затем, между некоторыми цифрами поместили знак плюс. (Например, 1234567 + 891011 … 15 + 1617 … 99100. ) Может ли получившаяся в результате сумма делиться на 111?

Решение · Помощь

Тип 0 № 382 Добавить в вариант

Аня с Борей играют в «морской бой» по следующим правилам: на окружности выбираются 29 различных точек, пронумерованных по часовой стрелке натуральными числами от 1 до 29. Аня рисует корабль – произвольный треугольник с вершинами в этих точках. Боря (не зная расположение корабля Ани) производит «выстрел»: он называет два различных натуральных числа k и m от 1 до 29, и, если отрезок с концами в точках с номерами k и m, совпадает с одной из сторон треугольника Ани, то корабль считается «раненым». Сможет ли Боря, играя обдуманно, гарантированно «ранить» корабль, где бы Аня его ни расположила, сделав не более 134 выстрелов?

Решение · Помощь

Тип 0 № 443 Добавить в вариант

В алфавите языка альфов три буквы A, Л и Ф. Все слова этого языка можно построить, применяя последовательно следующие правила к любому слову из этого языка:

(1)поменять порядок букв в слове на противоположный;

(2)заменить две последовательные буквы так: ЛA → ФФ, AФ → ЛЛ, ФЛ → AA, ЛЛ → AФ, ФФ → ЛA или AA → ФЛ.

Известно, что ЛЛAФAЛAФФAЛAФФФAЛAФФФФAЛЛ  — это слово из языка альфов. Есть ли в языке альфов слово ЛФAЛФAЛФAЛФAЛAФЛAФЛAФЛAФЛ?

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Полное решение.	+	16
Найдена идея решения. Решение не доведено до конца или содержит ошибки. При этом имеется существенное продвижение в верном направлении.	+/2	8
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное продвижение в верном направлении.	∓	4
Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше.	−/0	0
Максимальный балл	16

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 605 Добавить в вариант

Можно ли расставить в квадратной таблице $100\times 100$ числа от 0 до 9 999 (каждое по одному разу) так, чтобы в каждом квадратике $2\times 2$ сумма чисел была бы одинаковой?

Решение.

Искомая таблица получается как сумма двух таблиц. Первая таблица выглядит так.

В этой таблице любое число, вместе со своим соседним по горизонтали даёт в сумме 99, так что в любом квадрате $2 \times 2$ сумма равна 198.

В этой таблице любое число, вместе со своим соседним по вертикали даёт в сумме 9900, так что в любом квадрате $2 \times 2$ сумма равна 19800. При суммировании этих таблиц сумма в каждом квадрате $2 \times 2$ будет очевидно составлять 19998.

Осталось понять, что в таблице встретятся все числа. Рассмотрим расстановку какого-то числа вида $100 k$ во второй таблице. Это число расположено в двух соседних столбцах на клетках, которые при шахматной раскраске оказываются одного цвета. При этом в первой таблице в этих двух столбцах встречаются все числа от 0 до 99, причём каждое один раз на чёрной клетке и один раз на белой. Значит, число $100 k$ будет просуммировано с каждым числом от 0 до 99 ровно один раз. Таким образом, у нас получатся все числа от $100 k$ до $100 k плюс 99$ каждое по разу, а значит, во всей таблице получатся все числа от 0 до 9999.

Ответ: да, можно.

Критерии проверки:

Только ответ «Да» без примера или с неверным примером — 0 баллов. Полный балл складывается из:

1) Правильный пример — 2 балла.

2) Обоснование того, что в примере выполняется условие для квадратиков $2 \times 2$  — 1 балл.

3) Обоснование того, в примере встречаются все числа от 0 до 9999 (999 во втором варианте) 1 балл.

Если обоснование какого-либо из условий очевидно следует из примера, жюри вправе не снимать баллы за отсутствие этого обоснования. Например, приведённый в авторском решении пример при отсутствии обоих обоснований следовало бы оценить в $2 плюс 1 плюс 0=3$ балла, так как выполнение первого условия для этого примера очевидно, а выполнение второго — нет. Участник не обязан писать явную формулу для каждой клетки таблицы, описания построения таблицы, сходного по строгости с приведённым в авторском решении, достаточно.

Если приведён пример без обоснования и жюри не может за разумное время определить его правильность, жюри вправе поставить за такой пример 0 баллов. Однако, если участник сможет на апелляции объяснить верность своего примера, он должен получить свои 2 балла.

Аналоги к заданию № 605: 611 Все

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 611 Добавить в вариант

Можно ли расставить в прямоугольной таблице $100\times 10$ числа от 0 до 999 (каждое по одному разу) так, чтобы в каждом квадратике $2\times 2$ сумма чисел была бы одинаковой?

Решение.

Искомая таблица получается как сумма двух таблиц. Первая таблица выглядит так.

В этой таблице любое число, вместе со своим соседним по вертикали даёт в сумме 900, так что в любом квадрате $2 \times 2$ сумма равна 1800. При суммировании этих таблиц сумма в каждом квадрате $2 \times 2$ будет очевидно составлять 1998.

Ответ: да, можно.

Критерии проверки:

Только ответ «Да» без примера или с неверным примером — 0 баллов. Полный балл складывается из:

1) Правильный пример — 2 балла.

2) Обоснование того, что в примере выполняется условие для квадратиков $2 \times 2$  — 1 балл.

3) Обоснование того, в примере встречаются все числа от 0 до 9999 (999 во втором варианте) 1 балл.

Аналоги к заданию № 605: 611 Все

Решение · Прототип задания · Критерии · Помощь

Тип 0 № 616 Добавить в вариант

На электронных часах Вася увидел время: $\overlineab:\overlinecd$ (если часов меньше 10, то a = 0). Оказалось, что a + bd + c = (a + d)(b + c). Верно ли, что Вася точно увидел на часах цифру ноль, если время на часах показывается в 24-часовом формате?

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	10
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования Ответ верный.	±	7
Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. При этом решение не завершено или при правильном ответе в нем отсутствуют важные обоснования.	+/2	5
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении.	∓	2
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 712 Добавить в вариант

Числовая последовательность задана условием $x_n плюс 1 = 3x_n плюс 4x_n минус 1.$ Может ли она быть периодической, но не постоянной?

Аналоги к заданию № 712: 720 Все

Решение · Помощь

Тип 0 № 720 Добавить в вариант

Числовая последовательность задана условием $x_n плюс 1 = 2x_n плюс 3x_n минус 1.$ Может ли она быть периодической, но не постоянной?

Аналоги к заданию № 712: 720 Все

Решение · Прототип задания · Помощь

Тип 0 № 887 Добавить в вариант

У Коли в тетради был записан многочлен сотой степени. Коля может взять один из записанных в тетради многочленов, прибавить a к коэффициенту при k-ой степени и вычесть 2a от коэффициента при (k + 1)-ой степени, после чего записать полученный многочлен в тетрадь к уже имеющимся. Могут ли у него в тетради после некоторого количества таких действий оказаться два многочлена, один из которых строго больше другого?

Если коэффициент при какой-то степени равен нулю, то с ним тоже можно проводить эту операцию.

Аналоги к заданию № 887: 895 Все

Решение · Помощь

Тип 0 № 895 Добавить в вариант

У Коли в тетради был записан многочлен двухсотой степени. Коля может взять один из записанных в тетради многочленов, прибавить 2a к коэффициенту при k-ой степени и вычесть a от коэффициента при (k + 1)-ой степени, после чего записать полученный многочлен в тетрадь к уже имеющимся. Могут ли у него в тетради после некоторого количества таких действий оказаться два многочлена, один из которых строго больше другого?

Если коэффициент при какой-то степени равен нулю, то с ним тоже можно проводить эту операцию.

Аналоги к заданию № 887: 895 Все

Решение · Прототип задания · Помощь

Тип 0 № 1123 Добавить в вариант

Можно ли разрезать квадрат 10 × 10 на несколько прямоугольников, сумма периметров которых равна 2017?

Решение · Помощь

Тип 0 № 1765 Добавить в вариант

Петя, Вася и Толя играют на доске 100 на 100 в следующую игру. Они по очереди (начинает Петя, потом Вася, потом Толя, затем Петя и т. д.) закрашивают граничные клетки доски (т. е. имеющие общую сторону с границей доски). Запрещается закрашивать клетку, соседнюю по стороне с уже закрашенной. Кроме того, нельзя закрашивать клетку, симметричную уже закрашенной относительно центра доски. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Могут ли Вася и Толя, договорившись, играть так, чтобы Петя проиграл?

(С. Берлов)

Решение.

Заметим, что всего имеется $396=3 умножить на 132$ граничных клеток доски. Для удобства изложения вместо них будем рассматривать вершины правильного 396-угольника. Соседним по стороне клеткам соответствуют соседние вершины, а клеткам, симметричным относительно центра доски, соответствуют вершины, симметричные относительно центра многоугольника О. Путь Вася и Толя действуют по следующему правилу: если Петя закрасил некоторую вершину P, то Вася закрасит такую вершину V, что $\angle P O V=120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ а Толя  — такую вершину T, что $\angle T O P=120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ (углы мы считаем как обычно против часовой стрелки). В результате тройка закрашенных вершин образует равносторонний треугольник, и каждый раз после хода Толи множество закрашенных вершин обладает симметрией третьего порядка, т. е. оно не меняется при повороте вокруг точки O на $\pm 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Покажем, что Вася и Толя всегда смогут походить.

Предположим, что Петя закрасил вершину P, после чего Вася не может сделать ход. На то могут быть две причины: вершина V, которую стратегия предписывает закрасить, уже закрашена или напротив P находится закрашенная вершина. В силу упомянутого свойства симметрии в первом случае должна быть закрашена и вершина P, а во втором  — должна быть закрашена вершина напротив P, и то и другое невозможно. Поэтому Вася всегда сможет походить. По аналогичным причинам всегда сможет походить и Толя. А поскольку в игре может быть сделано не более 396 ходов, игра когда-нибудь закончится и, значит, проиграет Петя.

Ответ: могут.

Решение · Помощь

Тип 0 № 1824 Добавить в вариант

На доске написано 100 различных натуральных чисел. К каждому из этих чисел прибавили НОД всех остальных. Могло ли среди 100 чисел, полученных в результате этих действий, оказаться три одинаковых?

Решение · Помощь

Тип 0 № 1827 Добавить в вариант

У барона Мюнхгаузена есть набор гирь 1000 различных целых весов, по 2¹⁰⁰⁰ гирь каждого веса. Барон утверждает, что если взять по одной гире каждого веса, то общий вес этих 1000 гирь будет меньше 2¹⁰¹⁰, причём этот вес невозможно набрать гирями из этого набора другим способом. Могут ли слова барона оказаться правдой?

Решение · Помощь

Тип 0 № 1862 Добавить в вариант

У Андрюши есть 100 камней разного веса, причем он различает камни по внешнему виду, но не знает, сколько именно весит каждый камень и как они упорядочены по весу. Андрюша может вечером положить на стол ровно 10 камней, а ночью домовой разложит их по возрастанию веса. Но если в доме живёт ещё и барабашка, то под утро он обязательно поменяет какие-то два из разложенных камней местами. Всё это известно Андрюше, но он не знает, есть ли в доме барабашка. Сможет ли он это узнать?

Решение · Помощь

Тип 0 № 1865 Добавить в вариант

Найдите все натуральные числа, такие что сумма квадратов их пяти наименьших делителей  — точный квадрат.

Решение · Помощь

Тип 0 № 1879 Добавить в вариант

В экзамене 25 тем, по каждой из которых заготовлено 8 вопросов. В билет входят 4 вопроса по разным темам. Можно ли заготовить 50 билетов так, чтобы каждый вопрос встречался в них ровно один раз и для любых двух тем был билет, в котором есть вопросы по ним обеим?

Решение · Помощь

Тип 0 № 2253 Добавить в вариант

Можно ли все натуральные числа от 1 до 2018 так расставить по кругу, что сумма любых трёх подряд стоящих чисел была нечётным числом?

Критерии проверки:

Общая схема:

0 баллов  — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;

1 балл  — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);

2 балла  — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;

3 балла  — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;

4 балла  — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.

Факторы, влияющие на оценку.

1.  Одна из основных целей Олимпиады  — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.

2.  Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.

3.  Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.

4.  Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.

5.  Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

6.  Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.

Аналоги к заданию № 2253: 2561 Все

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 2303 Добавить в вариант

Можно ли все натуральные числа от 1 до 2017 так расставить по кругу, чтобы любые два соседних числа отличались ровно на 17 или на 21?

Критерии проверки:

Общая схема:

Факторы, влияющие на оценку.

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

Решение · Критерии · Помощь

Всего: 114 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …