РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Поиск
?

в условии в решении в тексте к заданию в атрибутах
Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 6 7 8 9
Атрибут

Всего: 22 1–20 | 21–22

Добавить в вариант

Тип 0 № 362 Добавить в вариант

Пять различных по весу гирь, каждая из которых весит целое число килограмм, были взвешены всевозможными группами по три гири. В результате получили следующие веса (в килограммах) десяти взвешенных групп: 10, 14, 15, 16, 17, 17, 18, 21, 22, 24. Найдите веса этих пяти гирь.

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Полное решение.	+	10
Приведены все основные логические шаги решения. В результате вычислительной ошибки или описки получен неверный ответ.	±	7
Отсутствует строгое обоснование отдельных выводов. В результате вычислительной ошибки или описки получен неверный ответ. ИЛИ Ответ верный. Отсутствует строгое обоснование отдельных выводов. В частности, не показано что указанный ответ единственный.	+/2	5
Найдена основная идея решения. Ответ отсутствует или неверный. ИЛИ Ответ верный. Решение отсутствует или неверное.	∓	2
Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше.	−/0	0
Максимальный балл	10

Решение · Критерии · Помощь

Тип 30 № 991 Добавить в вариант

а)  У Танъ-Янны имеются чашечные весы и набор разновесок в $1, 3,\ldots,3 в степени левая круглая скобка 1995 правая круглая скобка$ амма (по одной каждого веса). Докажите, что ей не удастся разложить их по чашкам весов так, чтобы весы были в равновесии.

б)  Вычислите интеграл $принадлежит t_0 в степени левая круглая скобка 2 Пи правая круглая скобка косинус x косинус 3x\ldots косинус 3 в степени левая круглая скобка 1995 правая круглая скобка x dx.$

в)  Палку случайным образом сломали в двух местах. Найдите вероятность того, что длина каждого из кусков не превосходит половины ее длины.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 30 № 995 Добавить в вариант

а)  У Янатты имеются чашечные весы и набор разновесок в 1, 5, ..., 5¹⁹⁹⁵ аппа (по одной каждого веса). Докажите, что ей не удастся разложить их по чашкам весов так, чтобы весы были в равновесии.

б)  Вычислите интеграл $принадлежит t_0 в степени левая круглая скобка 2 Пи правая круглая скобка синус x синус 5x\ldots синус 5 в степени левая круглая скобка 1995 правая круглая скобка x dx.$

в)  Палку случайным образом сломали в двух местах. Найдите вероятность того, что из образовавшихся кусков можно составить треугольник.

Решение.

а)  На одной из чашек окажется гиря в 1 грамм. Тогда общая сумма весов на этой чашке станет выражаться числом граммов, не кратным 5. А на второй чашке все веса гирь кратны пяти, значит, их сумма тоже. Поэтому веса не равны.

б)  Преобразуем подынтегральное выражение с помощью многократного использования формул преобразования суммы в произведение. Например $синус x синус 5x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус 4x минус косинус 6x правая круглая скобка ,$ затем преобразуем так же $косинус 4x синус 25 x$ и $косинус 6x синус 25 x$ и так далее. В итоге мы получим сумму синусов и косинусов от углов вида $левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 1995 правая круглая скобка \pm 5 в степени левая круглая скобка 1994 правая круглая скобка \pm\ldots 25\pm5\pm1 правая круглая скобка x.$ По доказанному в предыдущем пункте, ни одна такая сумма не дает 0. Но при $k не равно 0$ имеем

$принадлежит t\limits_0 в степени левая круглая скобка 2 Пи правая круглая скобка синус kx dx=\dvpod минус дробь: числитель: косинус kx, знаменатель: k конец дроби k02 Пи =0,$

поскольку $косинус kx минус 2 Пи$   — периодическая функция. Аналогично и $принадлежит t\limits_0 в степени левая круглая скобка 2 Пи правая круглая скобка косинус kx dx=0.$ Значит, интеграл суммы любых таких синусов и косинусов с произвольными коэффициентами тоже равен нулю.

в)  Будем считать, что палку случайно ломают следующим образом  — сначала выбирают на ней случайным образом две точки, а затем ломают в них. Будем считать, что палки имеют длину 1, первая точка деления отделяет обломок длиной x, а вторая $y минус x,$ тогда третий обломок имеет длину $1 минус y.$ Для составления треугольника необходимо и достаточно выполнение трех условий:

1)  если $x меньше y минус x плюс 1 минус y ,$ то $2x меньше 1,$ отсюда $x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;$

2)  если $y минус x меньше x плюс 1 минус y,$ то $2y минус 2x меньше 1,$ отсюда $y минус x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;$

3)  если $1 минус y меньше x плюс y минус x,$ то $1 меньше 2y,$ отсюда $y больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Теперь рассмотрим область плоскости, заданную условиями $0 меньше x меньше y меньше 1$ и выясним, в какой ее части выполнены все эти условия. Любое линейное неравенство относительно x и y задает на плоскости некоторую полуплоскость. Интересующая нас область изображена на рисунке.

Как видно из рисунка, область $0 меньше x меньше y меньше 1$   — прямоугольный треугольник, а область, задаваемая в нем указанными тремя неравенствами  — его серединный треугольник, поэтому ее площадь равна четверти площади треугольника. Значит, указанное событие происходит с вероятностью $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 1625 Добавить в вариант

У дяди Кота Матроскина на складе гуталина видимо-невидимо да еще два ящика массой 5 и 8 кг. Докажите, что он сможет отмерить с помощью чашечных весов без гирь 218 кг этого полезного продукта. За какое наименьшее число взвешиваний это можно сделать?

Решение · Помощь

Тип 0 № 1827 Добавить в вариант

У барона Мюнхгаузена есть набор гирь 1000 различных целых весов, по 2¹⁰⁰⁰ гирь каждого веса. Барон утверждает, что если взять по одной гире каждого веса, то общий вес этих 1000 гирь будет меньше 2¹⁰¹⁰, причём этот вес невозможно набрать гирями из этого набора другим способом. Могут ли слова барона оказаться правдой?

Решение · Помощь

Тип 0 № 3649 Добавить в вариант

Даны 2019 неразличимых по виду монет. Все монеты имеют одинаковую массу, за исключением одной, более легкой. За какое наименьшее число взвешиваний можно гарантированно найти более легкую монету при помощи чашечных весов без гирь?

Решение · Помощь

Тип 0 № 3956 Добавить в вариант

Имеется n гирек, каждая весит целое число граммов, а суммарный их вес равен 100 гр. Верно ли, что все гирьки всегда можно разложить на две чаши весов так, чтобы они уравновесились, если а) $n =50;$ б) $n =51?$

Решение · Помощь

Тип 0 № 3960 Добавить в вариант

Имеется n гирек, каждая весит целое число граммов, а суммарный их вес равен $2k$ (гр). Верно ли, что все гирьки всегда можно разложить на две чаши весов так, чтобы они уравновесились, если а) $n=k;$ б) $n=k плюс 1?$

Решение · Помощь

Тип 0 № 4027 Добавить в вариант

Имеется n гирек весом 1, 2, ..., n (гр) и двухчашечные весы. Можно ли все гирьки разложить на весах так, чтобы на одной чаше было вдвое больше гирек, чем на другой, и весы уравновесились: a) при $n = 90;$ б) при $n = 99?$

Решение · Помощь

Тип 0 № 4395 Добавить в вариант

Имеются чашечные весы, которые находятся в равновесии, если разность масс на их чашах не превосходит 1 г, а также гири массами $натуральный логарифм 3,$ $натуральный логарифм 4,$ $\ldots,$ $натуральный логарифм 79$  г. Можно ли разложить все эти гири на чаши весов так, чтобы весы находились в равновесии?

Решение.

Всего имеется 77 гирь, массы которых равны $натуральный логарифм 3,$ $натуральный логарифм 4,$ $натуральный логарифм 5,$ $\ldots,$ $натуральный логарифм 79$ г. Положим на левую чашу весов гири массой $натуральный логарифм 3$ г и $натуральный логарифм 4$ г, а на правую  — гирю массой $натуральный логарифм 5$ г. Тогда разность масс на чашах будет равна

$натуральный логарифм 3 плюс натуральный логарифм 4 минус натуральный логарифм 5= натуральный логарифм дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби = натуральный логарифм 2,4 г,$

где $0 меньше натуральный логарифм 2,4 меньше натуральный логарифм e=1,$ то есть весы будут в равновесии. Разобьём оставшиеся 74 гири на 37 пар:

$левая фигурная скобка натуральный логарифм 6, натуральный логарифм 7 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка натуральный логарифм 8, натуральный логарифм 9 правая фигурная скобка , \ldots, левая фигурная скобка натуральный логарифм 78, натуральный логарифм 79 правая фигурная скобка .$

Последовательно будем брать пары и класть более тяжелую гирю на чашу, на которой в данный момент лежат гири с меньшей суммарной массой (обозначим эту суммарную массу в граммax через L), а более легкую гирю на чашу, на которой в данный момент лежат гири с большей суммарной массой (обозначим эту суммарную массу в граммах через H). Если суммарные массы на обеих чашах совпадают $левая круглая скобка L=H правая круглая скобка ,$ то положим на произвольную чашу одну гирю пары, а на другую чашу  — вторую гирю пары. Тогда с учетом неравенства $0 меньше или равно H минус L меньше 1$ после очередного докладывания разность масс на чашах будет равна

$левая круглая скобка H плюс натуральный логарифм n правая круглая скобка минус левая круглая скобка L плюс натуральный логарифм левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$

что меньше $H минус L меньше 1$ и при этом больше

$натуральный логарифм n минус натуральный логарифм левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка = натуральный логарифм дробь: числитель: n, знаменатель: n плюс 1 конец дроби больше натуральный логарифм дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби больше минус 1 .$

Таким образом, после докладывания очередной пары гирь весы будут оставаться в равновесии, которое сохранится и при распределении всех гирь по чашам в соответствии с описанным алгоритмом.

Ответ: можно.

Приведем другое решение.

Положим на левую чашу весов гири массами $натуральный логарифм 3,$ $натуральный логарифм 5,$ $натуральный логарифм 7,$ $\ldots,$ $натуральный логарифм 79$ г, а на правую  — гири массами $натуральный логарифм 4,$ $натуральный логарифм 6,$ $натуральный логарифм 8,$ $\ldots,$ $натуральный логарифм 78$ г. Масса на левой чаше будет больше, чем на правой, причем разница составит

$натуральный логарифм левая круглая скобка 3 умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 6 конец дроби умножить на \ldots умножить на дробь: числитель: 79, знаменатель: 78 конец дроби правая круглая скобка больше натуральный логарифм 3 больше 1 .$

Далее будем последовательно брать пары гирь $левая фигурная скобка натуральный логарифм 79, натуральный логарифм 78 правая фигурная скобка ,$ $левая фигурная скобка натуральный логарифм 77, натуральный логарифм 76 правая фигурная скобка ,$ $\ldots,$ $левая фигурная скобка натуральный логарифм 5, натуральный логарифм 4 правая фигурная скобка$ (гири в каждой паре лежат на разных чашах весов) и для каждой пары менять составляющие ее гири местами (гирю с левой чаши перекладывать на правую и наоборот). Если эта операция будет проделана для каждой пары, то разность между суммарными массами гирь на левой и правой чашах составит

$натуральный логарифм левая круглая скобка 3 умножить на дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби умножить на дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби умножить на \ldots умножить на дробь: числитель: 78, знаменатель: 79 конец дроби правая круглая скобка меньше натуральный логарифм дробь: числитель: 3 умножить на 4, знаменатель: 5 конец дроби = натуральный логарифм 2,4 меньше 1 .$

В процессе перекладывания гирь $левая фигурная скобка натуральный логарифм n, натуральный логарифм левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка правая фигурная скобка ,$ образующих пару, эта разность уменьшается на

$2 левая круглая скобка натуральный логарифм левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус натуральный логарифм n правая круглая скобка =2 натуральный логарифм дробь: числитель: n плюс 1, знаменатель: n конец дроби меньше 2 натуральный логарифм 2 меньше 2 г.$

Значит, в результате первого такого перекладывания, после которого масса на левой чаше станет меньше, чем масса на правой чаше плюс 1 г, весы будут находиться в равновесии.

Решение · Помощь

Тип 0 № 5363 Добавить в вариант

Известно, что среди 26 монет имеется одна фальшивая, более легкая, чем все остальные. Найдите эту монету при

помощи трех взвешиваний на чашечных весах без гирь. Сколько взвешиваний потребуется, если монет будет 82?

Решение · Помощь

Тип 0 № 5673 Добавить в вариант

Имеются чашечные весы и гирька массой 1 грамм. За какое минимальное количество взвешиваний можно на этих весах взвесить 2021 грамм сахара-песка? После каждого взвешивания новая порция сахара отсыпается в отдельную емкость. Приведите последовательность взвешиваний.

I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI
1 г	2 г	4 г	8 г	16 г	32 г	63 г	126 г	253 г	505 г	1011 г
1 г	1 + 1 г	1 + 3 г	1 + 7 г	1 + 15 г	1 + 31 г	63 г	126 г	1 + 252 г	505 г	1 + 1010 г

Решение · Помощь

Тип 0 № 5812 Добавить в вариант

Имеется 288 внешне одинаковых монет весами 7 и 8 грамм (есть и те, и другие). На чаши весов положили по 144 монеты так, что весы в равновесии. За одну операцию можно взять с чаш любые две группы из одинакового числа монет и поменять их местами. Докажите, что можно не более, чем за 11 операций сделать так, чтобы весы не были в равновесии.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 6443 Добавить в вариант

Известно, что одна из четырех монет фальшивая и отличается от настоящих весом. Требуется определить, какая из монет

является фальшивой, с помощью весов без гирь. Какие из перечисленных утверждений являются верными? Варианты ответов:

а)  фальшивую монету можно определить за 2 взвешивания;

б)  фальшивую монету можно определить за 3 взвешивания;

в)  фальшивую монету можно определить за 4 взвешивания;

г)  среди перечисленных ответов нет верного.

Решение · Помощь

Тип 0 № 6773 Добавить в вариант

Есть 100 внешне неразличимых монет трёх типов: золотые, серебряные и медные (каждый тип встречается хотя бы раз). Известно, что золотые весят по 3 грамма, серебряные  — по 2 грамма, медные  — по 1 грамму. Как на чашечных весах без гирек гарантированно определить тип у всех монет не более, чем за 101 взвешивание?

(Владислав Новиков)

Решение.

I способ. (А. Шаповалов) Назовём ситуацию победной, если проведено не более чем $k плюс 1$ взвешивание и определены веса k монет, причём среди них есть серебряная или две медных. В победной ситуации, сравнивая неизвестную монету с весом 2 г, мы определим её вес, увеличив число известных монет и число взвешиваний на единицу и так определим все монеты не более чем за 101 взвешивание.

В каждый момент будем сравнивать число затронутых (участвовавших во взвешиваниях) монет $z \mathrmc$ числом взвешиваний $v .$ Сначала выделим одну монету и будем сравнивать незатронутые монеты с ней, пока не найдём монету другого веса. Пусть A более лёгкая, а B  — более тяжёлая из затронутых монет. Далее сравниваем незатронутые монеты с B, пока снова не получим неравенство. Теперь у нас $v=z минус 1;$ есть одна или несколько монет одинакового веса a, одна или несколько монет другого веса $b больше a$ и одна монета C веса $c не равно q b.$ Сравним C с A. Возможны два случая.

1)  Если $c=a.$ Сравним B с $A плюс C,$ то есть b с $2 a.$ Возможны варианты: $b=3,$ $a=1$ (если $b больше 2a правая круглая скобка ;$ $b=2,$ $a=1 левая круглая скобка b=2 a правая круглая скобка ;$ $b=3,$ $a=2 левая круглая скобка b меньше 2 a правая круглая скобка .$ Во всех случаях ситуация победная: $v=z плюс 1,$ веса z монет определены и есть нужные монеты (с общим весом 2).

2)  Если $c не равно q a .$ Значит, a, b, c  — три разных веса, они как-то упорядочены $левая круглая скобка c больше b больше a,$ $b больше c больше a$ или $b больше a больше c правая круглая скобка ,$ поэтому определены однозначно. При этом $v=z$   — ситуация победная.

Замечание. При определенных условиях некоторые взвешивания можно не проводить: например, если C тяжелее B, то уже $c больше b больше a;$ если при первом неравенстве уже есть ещё монета веса a, ей можно воспользоваться как монетой C.

II способ. (A. Рябичев) Сначала докажем по индукции следующее вспомогательное

утверждение 1. Пусть есть k монет, среди которых все три типа представлены, причём про пару монет A, a уже известно, что $A больше a.$ Тогда можно определить, какая из k монет какого типа, за $k минус 1$ взвешивание.

База. Если монет три, сравнив оставшуюся монету с A и с a, мы упорядочим их по весу.

Шас. Сравним какие-нибудь две монеты, кроме A и a. Если они равны, то одну можно отбросить (запомнив, с какой она совпадает по весу), и воспользоваться предположением индукции для $k минус 1$ монеты.

Если они не равны, скажем что получилась пара $B больше b.$ Теперь сравним $A плюс a$ и $B плюс b.$ Если веса пар равны, то $A=B$ и $a=b,$ так что мы можем выкинуть B и b (запомнив, что они совпадают по весу с A и a), и воспользоваться предположением индукции для $k минус 2$ монет.

Пусть веса пар различны, для определённости, $A плюс a больше B плюс b.$ Заметим, что при этом обязательно $A=3$ и $b=1.$ Монеты в паре $левая круглая скобка B, a правая круглая скобка$ имеют либо веса (2, 1), либо (2, 2), либо (3, 2). Таким образом, сравнив $A плюс b$ с $B плюс a,$ мы однозначно восстановим веса всех четырёх монет. Среди них есть монета веса 2, будем сравнивать с ней все остальные монеты, на что уйдут оставшиеся $k минус 4$ взвешивания. Первое утверждение доказано. Теперь выведем по индукции следующее утверждение, усиливающее требуемое в задаче.

Утверждение 2. Если есть k монет, среди которых все три типа представлены, то можно определить, какая монета какого типа, за k взвешиваний.

База. Если монет три, то, сравнив каждую с каждой, мы упорядочим их по весу.

Шаг. Сравним какие-нибудь две монеты. Если они равны, то одну можно отбросить (запомнив, с какой она совпадает по весу), и мы переходим к случаю $k минус 1$ монеты, среди которых все типы представлены. Если они не равны, скажем что образовалась пара $A больше a$ и воспользуемся утверждением.

Замечание. Мы сделали на одно взвешивание меньше, чем предполагалось в условии. Кроме того, мы использовали только то, что сумма весов двух серебряных монет равна сумме весов медной и золотой; тот факт, что серебряная монета вдвое тяжелее медной, для данного решения не важен.

Решение · Помощь

Тип 0 № 6780 Добавить в вариант

(Владислав Новиков)

Решение.

II способ. (A. Рябичев) Сначала докажем по индукции следующее вспомогательное

База. Если монет три, сравнив оставшуюся монету с A и с a, мы упорядочим их по весу.

База. Если монет три, то, сравнив каждую с каждой, мы упорядочим их по весу.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 6792 Добавить в вариант

У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1001, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или что имеет место равенство). Может ли Таня за 4 взвешивания гарантированно определить, где какая гиря? (Следующее взвешивание выбирается по результатам прошедших.)

(Жюри)

Решение.

I способ. Первые три взвешивания такие: разбиваем гири на две пары способом, который ещё не встречался, и сравниваем их. Разных способов как раз три. Мы получим равенство для пар 1001, 1005 и 1002, 1004. При этом только гиря 1001 в двух других взвешиваниях была в «лёгкой» паре и только гиря 1005 в двух других взвешиваниях была в «тяжёлой» паре  — так находим их. Оставшиеся две гири 1002 и 1004 различаем четвёртым взвешиванием.

II способ. Сначала положим на чаши по две гири.

1)  Одна из чаш перевесила. Тогда гири разбиваются на две пары: лёгкую и тяжёлую. Есть два варианта: лёгкая пара  — гири 1001, 1002, тяжелая  — 1004, 1005 или лёгкая пара  — 1001, 1004, тяжёлая  — 1002, 1005. Следующими двумя взвешиваниями упорядочим гири по весу в каждой паре. Четвёртым взвешиванием, сравнив более тяжелую гирю лёгкой пары с более лёгкой гирей тяжёлой пары, узнаем, какой из вариантов имеет место.

2)  Весы в равновесии. Тогда гири разбиваются на две пары равного веса: 1001, 1005 и 1002, 1004. Вторым и третьим взвешиваниями упорядочим гири по весу в каждой паре. Четвёртым взвешиванием, сравнив более лёгкие гири пар, узнаём, какая пара какая.

Ответ: может.

Решение · Помощь

Тип 0 № 6796 Добавить в вариант

а)  У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1000, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или что имеет место равенство). Может ли Таня за 4 взвешивания гарантированно определить, где какая гиря? (Следующее взвешивание выбирается по результатам прошедших).

б)  Тот же вопрос, если у весов левая чашка на 1 г легче правой, так что весы показывают равенство, если масса на левой чашке на 1 г больше, чем на правой.

(Алексей Толпыго)

Решение.

а) Как бы Таня ни помещала гири на весы, равновесия они никогда не покажут. Поэтому каждое взвешивание делит множество подозрительных перестановок не более чем на две части. Вначале было 24 подозрительных перестановки, после первого взвешивания при «неудачном» исходе их останется не меньше 12, после второго  — не меньше 6, ..., после четвёртого  — не меньше 2.

б) I способ. Сначала положим на чаши по две гири. В результате гири разбиваются на две пары: лёгкую и тяжёлую (если весы показали равновесие, то, как мы знаем, более тяжёлая группа  — на левой чаше). Есть три варианта: лёгкая пара  — гири 1000, 1002, тяжёлая  — 1004, 1005; лёгкая пара  — 1000, 1004, тяжёлая  — 1002, 1005; лёгкая пара  — 1000, 1005, тяжёлая  — 1002, 1004. Следующими двумя взвешиваниями упорядочим гири по весу в каждой паре. Четвёртым взвешиванием сравним более тяжёлые гири обеих пар, положив на левую чашу гирю из тяжёлой пары. В первом варианте перевесит левая чаша, в третьем  — правая, а во втором весы покажут равновесие (на левой чаша 1005, на правой  — 1004).

II способ. Положим гирю A на левую чашу, а гирю B  — на правую. Если равновесия нет, более тяжёлую гирю кладём на левую чашу и вторым взвешиванием сравниваем с C. Если снова нет равновесия, опять более тяжёлую гирю кладём на левую чашу и третьим взвешиванием сравниваем с D. У нас в запасе осталось одно взвешивание. Если равновесие хоть раз было, более тяжёлая гиря в этом взвешивании весит 1005 г, другая  — 1004 г, а две оставшиеся гири определяются ещё одним взвешиванием. Если равновесия ни разу не было, мы заведомо нашли самую тяжёлую гирю (1005 г). Разберём случаи, какая это гиря, и покажем, что в каждом из них мы уже знаем также гирю 1004 г (тогда оставшиеся две гири мы различим четвёртым взвешиванием).

1)  Это A. Она все три взвешивания была на левой чаше, значит, один раз весы показали бы «равновесие», а этот случай разобран.

2)  Это B. Она дважды была на левой чаше, поэтому 1004 г может весить только A.

3)  Это C. Тогда 1004 г весит гиря, «проигравшая» C при втором взвешивании (так как она более тяжёлая из A и B, а D не может весить 1004 г).

4)  Это D. Тогда 1004 г весит самая тяжёлая гиря из трёх оставшихся (она определилась при втором взвешивании).

Ответ: а) не может; б) может.

Решение · Помощь

Тип 0 № 7062 Добавить в вариант

У Насти есть пять одинаковых с виду монет, среди которых три настоящие  — весят одинаково  — и две фальшивые: одна тяжелее настоящей, а вторая на столько же легче настоящей. Эксперт по просьбе Насти сделает на двухчашечных весах без гирь три взвешивания, которые она укажет, после чего сообщит Насте результаты. Может ли Настя выбрать взвешивания так, чтобы по их результатам гарантированно определить обе фальшивые монеты и указать, какая из них более тяжёлая, а какая более лёгкая?

Решение · Помощь

Тип 21 № 7457 Добавить в вариант

В ряд слева направо лежат n монет. Известно, что две из них фальшивые, они лежат рядом, левая весит 9 граммов, правая 11 граммов, а все оставшиеся настоящие и каждая из них весит 10 граммов. Монеты взвешивают на чашечных весах, которые либо показывают, груз на какой их двух чашек тяжелее, либо находятся в равновесии, и тогда грузы на обеих чашках имеют одинаковый вес. При каком максимальном n можно за три взвешивания найти монету весом 11 граммов?

Решение.

Пусть n  =  28. Разобьём все монет 28 на три кучи, первая  — монеты с номерами 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, вторая  — монеты с номерами 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, третья  — монеты с номерами с 1 по 10. Первым взвешиванием сравниваем первую и вторую две кучи. Заметим, что, если весы не в равновесии, то тяжёлая монета в тяжёлой куче. Действительно, если номера обеих фальшивых монет больше 10, то лёгкая попадёт в одну из двух взвешиваемых куч, а тяжёлая  — в другую и та перевесит. Если номера обеих фальшивых монет не больше 10, то обе попадут в третью кучу и весы останутся в равновесии. Если номера фальшивых монет равны 10 и 11, то тяжёлая попадёт в первую кучу, а вторая будет полностью состоять из настоящих монет и первая перевесит. Важно отметить, что, если делать аналогичное разбиение по порядку не с конца номеров, а сначала, то это неверно, когда фальшивые монеты лежат на 18-ом и 19-ом местах. Если же весы в равновесии, то тяжёлая и лёгкая монеты в третьей куче из 10 монет. В этом, «худшем», случае разобьём третью кучу аналогично на три: в первой номера 6, 8, 10, во второй номера 5, 7, 9, в третьей номера 1, 2, 3, 4. Вторым взвешиванием сравниваем первую и вторую кучи и выясняем, в какой из трёх куч тяжёлая монета теперь. Если снова равенство и она вместе с лёгкой снова в третьей куче из 4 монет, сравниваем монеты 3 и 4. При равенстве  — тяжёлая 2-ая, если одна тяжелее  — та и тяжёлая. То же самое, если тяжёлая в куче из 3 монет  — сравниваем вторую и третью, которая тяжелее  — та и тяжёлая.

Если в первом взвешивании тяжёлая монета окажется, скажем, в первой куче, разбиваем её на три по три: в первой монеты 19, 23, 27, во второй 17, 21, 25, в третьей 11, 13, 15 и взвешиваем первую и вторую, находим кучу из трёх монет, содержащую тяжёлую. Последним взвешиванием второй и третьей в этой куче находим искомую. Аналогично, если при первом взвешивании тяжёлая монета окажется во второй куче. Отметим, что лёгкая монета участвует в третьем взвешивании тогда и только тогда, когда в двух первых имеет место равенство. Если монет будет больше 28, то возможных положений для тяжёлой монеты будет больше 27  =  3³, что больше числа возможных исходов при трёх взвешиваниях, равного $3 умножить на 3 умножить на 3.$ Поэтому нельзя однозначно сопоставить номер тяжёлой монеты определённому исходу трёх взвешиваний и найти её.

Ответ: 28.

Решение · Критерии · Помощь

Всего: 22 1–20 | 21–22