Всего: 12 1–12
Добавить в вариант
В треугольнике АВС взята точка Р такая, что сумма углов РВА и РСА равна сумме углов РВС и РСВ. Докажите, что расстояние от вершины А до точки Р не меньше расстояния от А до точки I — центра вписанной в АВС окружности, и если эти расстояния равны, то Р совпадает с I.
Точки A, B и C лежат на окружности с центром в точке O. Луч OB вторично пересекает описанную около треугольника AOC окружность в точке D, причем точка B оказалась внутри этой окружности. Докажите, что AB — биссектриса угла DAC.
Точки B, C и D лежат на окружности с центром в точке A. Луч AC вторично пересекает описанную около треугольника ABD окружность в точке E, причем точка C оказалась внутри этой окружности. Докажите, что DC — биссектриса угла EDB.
Дан треугольник ABC, в котором AB = 2, BC = 8, AC = 8. Из точки B провели биссектрису, которая пересекла описанную окружность этого треугольника в точке D. Найдите, чем равно DI, где I центр вписанной окружности треугольника ABC.
а по теореме синусов в треугольнике 
через теорему синусов в треугольнике 
получаем 
Дан треугольник ABC, в котором AB = 4, BC = 4, AC = 1. Из точки A провели биссектрису, которая пересекла описанную окружность этого треугольника в точке D. Найдите, чем равно DI, где I центр вписанной окружности треугольника ABC.
а по теореме синусов в треугольнике 
через теорему синусов в треугольнике 
Треугольники DBI и AEI подобны, так как это равнобедренные треугольники с равными углами при основании (углы в точке I равны как вертикальные, потому что точки A, I и D лежат на одной прямой — биссектрисе угла A). Аналогично подобны треугольники DCI и AFI. 
Из этого равенства следует требуемое равенство площадей треугольников BIF и CIE поскольку углы при вершине I в треугольниках BIF и CIE равны как вертикальные.
Треугольники DBI и AEI подобны, так как это равнобедренные треугольники с равными углами при основании (углы в точке I равны как вертикальные, потому что точки A, I и D лежат на одной прямой — биссектрисе угла A). Аналогично подобны треугольники DCI и AFI.
а это накрест лежащие углы при прямых 
и 
поэтому прямые параллельны.Дан треугольник ABC, точка I — центр вписанной окружности, точка A1 взята таким образом, что точка A является серединой отрезка A1I. Докажите, что точка A1 и центры вневписанных окружностей треугольника ABC лежат на одной окружности.
точки D, E и 
и 
соответственно.
отрезок AO является средней линией, значит, 
Аналогичные равенства получаем и для остальных пар отрезков. Так как 
следовательно, 
лежат на одной окружности с центром в O1, что и требовалось доказать. Заметим, что вместо последнего абзаца можно было применить преобразование подобия (гомотетию) с центром в точке I и коэффициентом 2.Дан треугольник ABC, точка I — центр вписанной окружности, точки A1, B1, C1 взяты таким образом, что точки A, B, C являются серединами отрезков A1I, B1I, C1I соответственно. Докажите, что точки A1, B1, C1 и центр вневписанной окружности треугольника ABC лежат на одной окружности.
соответственно.
Аналогичные равенства получаем и для остальных пар отрезков. Так как 
следовательно, 
В неравнобедренном треугольнике ABC проведена биссектриса BB1. Точка I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезку AC пересекает окружность, описанную около треугольника AIC, в точках D и E. Точка F на отрезке B1C выбрана так, что AB1 = CF. Докажите, что точки B, D, E и F лежат на одной окружности.
описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точку B. Тогда Ψ лежит на прямой 
Кроме того, по лемме о трезубце точка Ψ равноудалена от точек I, A и C, поэтому Ψ является центром описанной окружности треугольника AIC и Ψ лежит на отрезке ED. Пусть точка 
симметрична F относительно серединного перпендикуляра к DE. Очевидно, 
—
F лежат на одной окружности.
поскольку Ψ равноудалена от точек 
F, 
т. е. 
—
Из подобия треугольников 
и 
следует, что 
что равносильно равенству, 
B, D, E лежат на одной окружности.Точка Ia — центр вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся стороны BC в точке X, а точка A′ диаметрально противоположна точке A на описанной окружности этого треугольника. На отрезках IAX, BA′, CA′ выбраны точки Y , Z, T соответственно таким образом, что IAY = BZ = CT = r, где r — радиус вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что точки X, Y , Z, T лежат на одной окружности.
Кроме этого, если I — центр вписанной окружности, то 
Из этих равенств сразу следует, что 
Поскольку прямая 
—
и поэтому 
и 
Это значит, что четырехугольник 
—
совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку 
Последний по лемме о трезубце проходит через середину W дуги 
описанной окружности треугольника. Аналогично, через W проходит и серединный перпендикуляр к отрезку 
Отметим на продолжении отрезка 
за точку X такую точку 
для которой 
Иными словами, 
—
Следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре 
совпадающем с серединным перпендикуляром к отрезку XY.
и 
Тогда 
как вписанный, и поэтому 
Заметим, что 
как внешний угол треугольника AIB. Это означает, что треугольник BIP — равнобедренный и 
Пусть биссектриса внешнего угла треугольника при вершине B пересекает прямую AP в точке O. Тогда 
как биссектрисы смежных углов. Треугольник BIO — прямоугольный, причём 
а значит 
то 
а из того, что 
следует, что IK — средняя линия треугольника ABO. Отсюда получаем, что 
и 
Пусть точка N — середина стороны BC. Треугольники AIM и APN подобны, так как 
а значит 
Но 
поэтому 
что и требовалось доказать.
(и, соответственно, 
), называется леммой о трезубце, а факт о том, что 
называется леммой Мансиона. Ссылки на леммы принимаются без доказательства.