Всего: 523 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
есть хотя бы две отмеченные клетки. Поскольку из доски 
можно вырезать 25 таких квадратов, в ней должно быть не менее 50 отмеченных клеток. Пример с 50 отмеченными клетками получается, если отметить клетки, первая координата которых четна.
Докажите неравенство 
иначе переставим x и y, увеличив левую часть неравенства. Из условия вытекает, что 
и 
Положим 
и рассмотрим пятиугольник ОABCD с вершинами в точках 
(см. рисунок). Так как 
и 
и 
По условию 
Поэтому 
Тогда 
Дана прямоугольный треугольник ABC. На продолжении гипотенузы BC выбрана точка D так, что прямая AD — касательная к описанной окружности ω треугольник ABC. Прямая AC пересекает описанную окружность треугольник ABD в точке E. Оказалось, что биссектриса угол ADE касается окружности ω. В каком отношении точка C делит отрезок AE?
K и L — точки пересечения биссектрисы угла ADE с AE и ω соответственно. Угол между касательной AD к окружности ω и хордой AC равен вписанному углу, который опирается на AC, откуда 
Кроме того, вписанные углы AED и α опираются на хорду AD и потому равны. Тогда 
и 
Тогда 
и по свойству биссектрисы 
На складе хранится 400 тонн грузов, причем вес каждого из кит кратен центнеру и не превосходит 10 тонн. Известно, что любые два груза имеют разный вес. Какое наименьшее количество рейсов надо сделать
где n — натуральное число. Известно, что x имеет ровно три различных простых делителя, один из которых равен 7. Найдите x.
где 
Один простой делитель x равен 2. Поэтому мы должны найти все N, имеющие ровно два нечетных простых делителя, один из которых равен 7. Остатки от деления степеней двойки на 7 равны 2, 4, 1 и далее циклически повторяются. Тогда делимость N на 7 означает, что 
кратно 3, то есть 
Если 
то 
что нам не подходит. При 
и 
мы получим соответственно 
и 
откуда 
и 
Покажем, что при 
решений не будет. Рассмотрим два случая. 
где 
и 
Заметим, что p и q взаимно просты, поскольку 
то 
и, повторяя предыдущие рассуждения для p вместо N, мы разложим p в произведение двух взаимно простых чисел, отличных от 1. Тогда N есть произведение трех взаимно простых чисел и, тем самым, имеет не менее трех различных простых делителей, что невозможно.
Так как число q взаимно просто с p, оно не может и меть других простых делителей, откуда 
при некотором натуральном s. Остаток от деления на 8 у 
такой же, как у 
то есть 1 , поскольку 
Тогда s четно и q является точным квадратом. Но число 
лежит строго между 
и 
и потому точным квадратом быть не может. 
при 
и 
где 
и 
Числа p и q взаимно просты, так как они нечетны и 
Заметим, что число p раскладывается на два взаимно простых множителя. Действительно, при четном k запишем p как разность квадратов, а при нечетном воспользуемся разложением из 1). Значит, N есть произведение трех взаимно простых чисел, отличных от 1. Поэтому N имеет не менее трех различных простых делителей, что невозможно.Три конуса с вершиной A и образующей 
касаются друг друга внешним образом. У двух конусов угол между образующей и осью симметрии равен 
а у третьего он равен 
Найдите объем пирамиды O1O2O3A, где O1, O2, O3 — центры оснований конусов.
и 
где B — середина отрезка O1O2, AD — общая образующая второго и третьего конусов. Тогда 
— не менее двух. Поскольку из доски 
можно вырезать 16 квадратов 
всего должно быть от мечено по крайней мере 
клеток. Пример с 56 от меченными клетками показан н а рисунке.
Докажите неравенство 
Положим 
и рассмотрим пятиугольник ОABCD с вершинами в точках 
и 
(см. рисунок). Так как 
и 
Тогда 
достигается при 
На продолжении стороны BC треугольник ABC взята точка D так, что прямая AD — касательная к описанной окружности 
треугольника ABC. Прямая AC пересекает описанную окружность треугольника ABD в точке E, причем AC : CE = 1 : 2. Оказалось, что биссектриса угла ADE касается окружности 
Найдите углы треугольника ABC.
Кроме того, вписанные углы ABD и AED опираются на хорду AD и потому равны. Тогда 
то есть треугольник ADE — равнобедренный. Поэтому биссектриса DK треугольника ADE является также его медианой и высотой. В частности, отрезок DK перпендикулярен основанию AE, откуда отрезок OL параллелен основанию AE. Тогда 
и равнобедренный треугольник ADL оказывается равно сторонним. Поэтому 
Тогда 
а оставшийся угол в треугольнике равен 
r — радиус ω, K и L — точки пересечения биссектрисы угла ADE с AE и ω соответственно. Угол между касательной AD к окружности ω и хордой AC равен вписанному углу, который опирается на AC, откуда 
Заметим, что 
и 
то есть суммарный возраст 16 самых старших зрителей всегда не меньше 776. Расположим зрителей в порядке увеличения возраста, и пусть ai — число лет 
воз растают. Кроме того, 
В силу возрастания чисел bi найдется такой индекс с m, что 
при 
и 
при 
Если 
то 
получаем
Мы должны привести пример, когда суммарный возраст 16 самых старших зрителей равен 776. Пусть в кинотеатр пришли люди, которым 6, 7, ..., 25 
где n — натуральное число. Известно, что x имеет ровно три различных простых делителя, один из которых равен 3. Найдите x.
Если 
что нам не подходит. При 
и 
откуда 
и 
Покажем, что при 
решений не будет. Заметим, что 
то m четно, и мы можем разложить p в произведение двух взаимно простых чисел, отличных от 1, тем же способом, что и N. Тогда N есть произведение трех взаимно простых чисел и, тем самым, имеет не менее трех различных простых делителей, что невозможно.
и 
при некотором натуральном s. Рассмотрим два случая. 
причем 
при некотором натуральном k, и 
Три конуса с вершиной A и образующей 6 касаются друг друга внешним образом. У двух конусов угол между образующей и осью симметрии равен 
а у третьего он равен Найдите объем пирамиды O1O2O3A, где O1, O2, O3 — центры оснований конусов.
где B — середина отрезка O1O2, AD — общая образующая второго и третьего конусов. Тогда 
и 
есть хотя бы две от меченные клетки. Поскольку доска 
разрезается на 24 таких прямоугольника, в ней должно быть не менее 48 от меченных клеток. Пример с 48 отмеченными клетками получается, если отметить клетки, сумма координат которых делится на 4.
Докажите неравенство 
По условию 
В силу симметрии неравенства можно считать 
Рассмотрим четырехугольник ОABC (см. рисунок) с вершинами в точках 
Заметим, что 
поскольку 
а 
есть расстояние от B до прямой OC. Таким образом, 
раствора 
которая равна 
и 
В силу условия 
Тогда 
На высоте BH треугольника ABC отмечена некоторая точка D. Прямая AD пересекает сторону BC в точке E, прямая CD пересекает сторону AB в точке F. Точки G и J являются проекциями соответственно точек F и E на сторону AC. Площадь треугольника HEJ вдвое больше площади треугольник HFG. В каком отношении высота BH делит отрезок FE?
Тогда 
откуда
считая от точки E. 
и 
где K — точка пересечения BH и FE. Заметим, что 
откуда вытекает подобие прямоугольных треугольников HEJ и HFG. В силу теоремы Фалеса 
На трибунах хоккейной арены несколько рядов по 168 мест в каждом ряду. На финальный матч в качестве зрителей пригласили 2016 учеников нескольких спортивных школ, не более 40 от каждой школы. Учеников любой школы требуется разместить на одном ряду. Какое наименьшее количество рядов должно быть на арене, чтобы это в любом случае удалось сделать?
где n — натуральное число. Известно, что x имеет ровно три различных простых делителя, один из которых равен 13. Найдите x.
Отсюда 
где 
и 
Заметим, что числа p и q взаимно просты. Действительно, если число r делит p и q, то оно делит 
Действительно, пусть 
Запишем 
решений нет. Одно из чисел p и q делится на 13. Рассмотрим два случая. 
то есть 
Если 
то p делится на 7 и 13. При 
мы можем применить к p те же рассуждения, что к x. В обоих случаях p разложится на два взаимно простых множителя, не являющихся степенями двойки. Поэтому x имеет не менее трех различных простых нечетных делителей, что невозможно. 
при некотором натуральном s. Значит, остаток от деления q на 8 равен 5 при нечетном s и 1 при четном. С другой стороны, этот остаток должен быть таким же, как у 
то есть 3, что невозможно.Три одинаковых конуса с вершиной A касаются друг друга внешним образом. Каждый из них касается внутренним образом четвертого конуса с вершиной в точке A и углом при вершине 
Найдите угол при вершине у одинаковых конусов. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
и, значит, эти точки лежат на некотором шаре с центром O радиуса R, вписанном в четвертый конус. Этот шар касается шаров, вписанных в одинаковые конусы (так как, например, шары с центрами в O и O1 касаются в точке B плоскости, содержащей образующую AB и касающейся четвертого конуса). Поэтому точки O1, O2, O3 лежат на отрезках OB, OC, OD соответственно. Тогда 
Значит, прямая AO проходит через центр H описанной окружности треугольника O1O2O3 перпендикулярно к его плоскости. Заметим, что этот треугольник правильный и 
откуда 
С другой стороны, 
имеет ровно три решения. Найдите ординату вершины трехчлена f(x).
имеет больше корней, чем уравнение 
и меньше корней, чем уравнение 
Ясно также, что никакие два уравнения не имеют общих корней. Тогда уравнение 
подходит. Разобьем числа от 1 до 2016 на 44 группы: 
Тогда 
