Всего: 35 1–20 | 21–35
Добавить в вариант
На гладкую горизонтальную спицу надеты две бусинки массами m и 2m, связанные лёгкой нитью длиной 2L. К середине нити прикреплён груз массой 2m. Сначала груз удерживают так, что бусинки на спице отстоят друг от друга на расстоянии 2L. Затем груз отпускают без толчка. Вычислите скорости бусинок на спице перед их соударением. Известно, что в течение всего времени движения системы нити не провисают.
а 
В аквариуме с прозрачной жидкостью установлена тонкостенная полая равнобедренная призма (см. рис.). Узкий пучок света падает параллельно дну аквариума и после прохождения в призме выходит перпендикулярно ее боковой грани. При каких значениях показателя преломления жидкости это возможно?
а угол преломления — углу при вершине полой призмы, т. к. по условию луч проходит перпендикулярно второй грани: 
По физическому смыслу задачи 
С учетом этого неравенства получаем: 
в точке x = 6, если 
Значит, каждое применение функции сокращает расстояние от числа до 5 в 5 раз. 
а само число станет равным 
и подставим во второе: 
т. е. 
Предположим, что: 
и 
Тогда 
где α — угол между векторами, отсюда получаем 
векторы коллинеарны, их координаты пропорциональны, 
достигает максимума 
при 
Отсюда 
Так как 
и 
то 
Противоречие. С учетом этого все остальные решения можно получить подбором знаков плюс или минус.
заставляет вспомнить теорему Пифагора и основное тригонометрическое тождество. Логична замена 
Из последнего уравнения системы имеем
где a, b, c — нечётные целые числа; p и q взаимно простые целые числа. Упростим равенство 
Если p и q оба нечётные, то слева в равенстве нечётное число, а справа чётное. Противоречие. Если одно из них чётно, а другое нечётно, то в левой части одно слагаемое нечётно, а два чётные, их сумма — нечётное число, и оно не может равняться нулю.
Отразим точку P симметрично относительно AC. Получим точку P1. Отразим точку P симметрично относительно BC. Получим точку P2. Длина ломаной P1RQP2 равна периметру треугольника PQR. Длина ломаной больше, чем длина отрезка, соединяющего её концы. В силу минимальности периметра длина ломаной P1RQP2 равна длине отрезка P1P2. Поэтому точки P1, R, Q, P2 лежат на одной прямой. B треугольнике P1CP2 угол при вершине равен, боковые стороны равны CP. В нём чем меньше боковая сторона, тем меньше основание P1P2. Длина минимальной боковой стороны равна высоте треугольника ABC. Отсюда, CP — высота треугольника ABC. Аналогично доказывается, что Q и R — тоже основания высот.
Проведём прямую через точку A1 параллельно AE. Она пересекает продолжение ребра BB1 в точке F, причем 
тогда
и 
Профессор математики ДВФУ должен был выйти из дома в 7:00, сесть в ожидавшую его машину и доехать на ней в кампус к определенному моменту. Однако он вышел из дома в 6:10 и побежал в противоположном направлении. Машина в 7:10 отправилась от дома вслед за ним и, догнав профессора, доставила его в кампус с опозданием на 20 мин. Во сколько раз скорость машины превышала скорость бегущего профессора?
Преподаватели кафедры математического и компьютерного моделирования ДВФУ принимают зачет по теории катастроф, проверяя практические задания и знание теории у каждого из студентов. У первого на это уходит соответственно 5 и 7 минут, а у второго 3 и 4 минуты. За какое наименьшее время они сумеют опросить 25 студентов?
и возведем обе части в квадрат 
и 
Отсюда, 
Так как 
то 
Этот треугольник содержит все точки, и его площадь не превышает 4. Значит, утверждение задачи верно.Робот, запрограммированный студентами направления «Прикладная математика и информатика», прыгает по первой четверти координатной плоскости xOy следующим образом: из точки (x, y) он может прыгнуть в точку (x + 1, y – 1) или в точку (x – 5, y + 7), причем прыгать в точки, у которых одна из координат отрицательна нельзя. Найдите площадь множества точек, из которых робот не может попасть в точку, находящуюся на расстоянии, большем 2016 от начала координат.
и не должны одновременно выполняться неравенства 
и 
откуда 
Указанным неравенствам удовлетворяет фигура, ограниченная осями координат и «лестницей» от точки (0; 5) до точки (5, 0). Её площадь равна 15. 
где 
—
У профессора математики ДВФУ время на проведение экзамена зависит только от количества выставленных двоек и обратно пропорционально их числу. На первый экзамен ушло на 30 минут меньше времени, чем на второй. А если бы на первом экзамене он поставил на 5 двоек больше, то он затратил бы на первый экзамен на 2 часа 30 минут меньше времени чем на второй. Сколько двоек он поставил на каждом экзамене?
