Всего: 127 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Теперь 
Пусть А — точка пересечения двух окружностей. Из этой точки по каждой окружности, по часовой стрелке, с постоянными скоростями начинают двигаться точки Х1 и Х2.Через один оборот обе точки вновь оказываются в A. Докажите, что всегда найдется такая неподвижная точка В, что всё время движения выполняется равенство Х1В = X2B.
(в противном случае проверять нечего при любом выборе P).
обладает указанным в задаче свойством, и все показано. Рассмотрим случай, когда радиусы различны. Заметим, что в этом случае найдутся два такие момента времени, что получающиеся в эти моменты отрезки 
не параллельны. Действительно, достаточно например взять на большей окружности концы диаметра перпендикулярного O1O2. Наклоны в эти моменты у 
и 
будут различны.
отличную от A. Рассмотрим углы 
Заметим, что разность этих углов не зависит от того момента, в который взяты точки X1, X2. Значит, для некоторого α выполнено 
По теореме косинусов в треугольниках 
получаем 
Тогда 
вообще говоря своя), пока 
проходит полный оборот, или тождественно равна нулю, или равна нулю не более чем при двух значениях этого угла (двух парах точек X1, X2). Но одно из них — начальное положение точек, теперь функция либо имеет не более одного ноля при допусловии 
либо тождественно равна нулю. 
Соответствующая ей функция в эти два момента времени обращается в ноль, при этом также выполнено 
Следовательно, эта функция — тождественный ноль. Но тогда такая 
с целыми коэффициентами а, b, c, d известно, что p(1) = 2015 и p(2) = 2017. Докажите, что уравнение p(x) = 2016 не имеет целых корней.
нечетно при всех целых x, следовательно, не может иметь целых корней.
сторону рассматриваемого квадрата обозначим через q.
условие задачи эквивалентно простому неравенству 
То есть, 
где a, b, c — цифры числа. Ясно, что для «круглых» чисел 
имеем 
Далее, если число N — не круглое, то 
и 
а так как старшая цифра числа N равна a, то 
и 
В памяти суперкомпьютера находится строка чисел, бесконечная в обе стороны. В начальный момент одно число строки равно единице, а все остальные нули. За один шаг суперкомпьютер прибавляет к каждому из чисел строки сумму обоих соседних с ним чисел (все прибавления происходят одновременно). Получается такая последовательность строк:
...
Правда ли, что начиная со второго шага в каждой строке встретится хотя бы одно ненулевое четное число? Ответ обосновать.
представить в виде произведения 
Ответ обосновать.
то есть g(y) — некоторая константа, равная 
при всех значениях y. Аналогично, при 
получим, что 
при всех значениях x. Очевидно, что 
или, что то же самое, 
Значит, 
Следовательно, CFOD — квадрат. Тогда 
и 
как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки. Значит, 
и 
то есть 
откуда 
что и требовалось доказать.
делится на 35.
Тогда 
делится на 
Что и требовалось доказать.
откуда 
и 
Проведем прямую O2C параллельную отрезку AB. В треугольнике O1O2C:
получаем 
то приходим к уравнению 
откуда 
что не равно 0. Применим после этого в числителе формулу 
Если бы на доске стояло только три ладьи на белых клетках, а остальные на черных, это бы означало, что сумма индексов всех клеток, на которых расположились ладьи, оказалась нечетной, что противоречит выше сказанному. Значит, есть еще как минимум одна ладья на белой клетке.
В этом случае приходим к уравнению 
при целых отрицателыных n, приходим к выводу, что выполняется равенство 
где k — целое число. Заметим, что 
а, следовательно, среди делителей числа 175 есть только два квадрата целых чисел: квадраты чисел 1 и 5. Но нас интересуют только целые отрицательные значения n. Значит, 
Число 
делится на 4, так как N четно. Далее, число N не делится на 5 (иначе оно делилось бы на 10) и, значит, представимо в виде 
или 
Но число 
часть площади треугольника. Определите высоту треугольника и сторону квадрата.
то имеем 
Дана система уравнений
а) a11, a22, a33 — положительны;
б) все остальные коэффициенты отрицательны;
с) в каждом уравнении сумма коэффициентов положительна.
Докажите, что 
является единственным решением для данной системы.
Если 
то 
Предположим, что 
Тогда 
что и требовалось. Это решение легко обобщается на случай n уравнений с n неизвестными.Всего: 127 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
правее оси a и не включающее прямую 
Построим теперь график функции 
Этим графиком часть плоскости, соответствующая области допустимых значений, разбивается на четыре области D1, D2, D3 и D4 (см. рис.).
(определяемое формулами 
то, изменяя значение а от 
до 
непосредственно из рисунка выписываем ответ.
то 
то 
то 
то 
то 