Всего: 10 1–10
Добавить в вариант
Для чисел x, y, z, t из интервала 
выполняется равенство
Докажите, что сумма некоторых двух из чисел x, y, z, t равна сумме двух остальных.
Введем обозначения 
Используя формулы
получим равенство
которое преобразуется в равенство 
Итак, должно выполнятся хотя бы одно из равенств: p = r или q = s. В первом случае имеем
Во втором случае получаем, что 
Таким образом, всегда сумма некоторых двух из чисел x, y, z, t равна сумме двух остальных.
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью. | + | 12 |
| Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования. ИЛИ Рассмотрены оба возможных случая (p = r и q = s) или представлено альтернативное решение, некоторые обоснования. | ± | 8 |
| Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. Верно рассмотрен только один из возможных случаев (p = r и q = s). | +/2 | 6 |
| Решение незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. | ∓ | 2 |
| Задача не решена, содержательных продвижений нет. | − | 0 |
| Задача не решалась. | 0 | 0 |
Числа x, y, z — углы треугольника. Найдите максимальное значение выраения
Заметим, что 
Числитель A равен
а знаменатель A равен
Поэтому
так как максимум трехчлена 
равен 
Равенство реализуется при 
Ответ:
Приведем другое решение. Рассмотрим треугольник с углами x, y, z, вписанный в окружность радиуса 
Стороны такого треугольника по теореме синусов равны 
и 
а его удвоенная площадь равна 
Тогда A — радиус вписанной окружности треугольника. Поэтому A не превосходит половины радиуса его описанной окружности, то есть Равенство реализуется на правильном треугольнике.
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Известно, что углы A, B, C треугольника ABC удовлетворяют соотношению
Приведите хотя бы один пример такого треугольника, длины сторон которого: а) рациональны; б) действительны.
Заметим, что
и
Будем теперь преобразовывать левую часть данного в условии задачи равенства:
Итак, углы треугольника АВС связаны зависимостью
Преобразуем это равенство следующим образом:
Далее:
и
Это даёт нам: 
Так как
то искомое соотношение между сторонами треугольника имеет вид:
при 
следовательно, 
и 
Ответ: a) ∅; б) да.
Вычислите
Из формулы
выразим произведение тангенсов:
Тогда
Складывая эти равенства для всех k от 1 до 2019 получаем, что выражение из условия равно
Заметим, что
а значит (*) равняется −2021.
Ответ: −2021.
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Вычислите
Из формулы
выразим произведение тангенсов:
Тогда
Складывая эти равенства для всех k от 1 до 2021 получаем, что выражение из условия равно
Заметим, что
а значит (*) равняется −2021.
Ответ: −2021.
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Докажите, что 
Умножим и разделим выражение в левой части доказываемого тождества на 
что не равно 0. Применим после этого в числителе формулу
Получим
Что и требовалось доказать.
Найдите x, если
Значение x должно удовлетворять условиям:
Уравнение (1) эквивалентно альтернативе
1) 
а 
откуда 
и 
Следовательно, 
что невозможно, левая часть четна, а правая — нечетна.
2) 
а 
Тогда 
и 
откуда 
или 
следовательно, 
(l — целое): 
Подставляя это значение x в (1), получаем условие 
Ответ: 
Решите уравнение
Поскольку 
и
то исходное уравнение равносильно 
Ответ: 
Построить такой треугольник ABC с целочисленными сторонами, углы которого удовлетворяют соотношению:
Имеем:
и
Будем теперь преобразовывать левую часть данного в условии задачи равенства
Итак, углы треугольника связаны зависимостью
Преобразуем это равенство следующим образом:
Далее:
и
Это дает нам:
Так как
то искомое соотношение между сторонами треугольника имеет вид: 
то есть по теореме Ферма таких треугольников не существует.
Ответ: построить невозможно, таких треугольников не существует.
Чему равен наименьший положительный корень уравнения
Запишем первое слагаемое по формулам приведения как 
и преобразуем сумму косинусов в произведение:
Тогда получим две серии корней
и 
где m, n — целые. В силу неотрицательности левых частей данных уравнений, m, n — неотрицательные целые числа. Наименьшие положительные корни, очевидно, получатся при m = n = 0. В первом уравнении корень 
а во 
Ответ:
Наверх