а)  Су­ще­ству­ет ли гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия, среди чле­нов a ко­то­рой име­ют­ся числа 3, 7 и 10?

До­пу­стим, что такая про­грес­сия есть. Будем счи­тать ее воз­рас­та­ю­щей (иначе пе­ре­пи­шем не­сколь­ко ее пер­вых чле­нов, среди ко­то­рых есть 3, 7, 10, в об­рат­ном по­ряд­ке). Пусть ее пер­вый член равен b, а зна­ме­на­тель равен q, тогда при не­ко­то­рых по­лу­чим при­чем Из пер­вых двух урав­не­ний по­лу­ча­ем а из по­след­них двух

Но при воз­ве­де­нии ра­ци­о­наль­но­го числа q (за­пи­сан­но­го в виде не­со­кра­ти­мой дроби) в на­ту­раль­ную сте­пень по­лу­ча­ют­ся снова не­со­кра­ти­мые дроби, зна­ме­на­те­ли ко­то­рых  — сте­пе­ни из­на­чаль­но­го зна­ме­на­те­ля. А числа 3 и 7 не яв­ля­ют­ся сте­пе­ня­ми од­но­го и того же на­ту­раль­но­го числа.

б)  Ре­ши­те урав­не­ние (здесь [.]  — это целая часть числа, т. е. наи­боль­шее целое число, его не пре­вос­хо­дя­щее).

Ясно, что по­сколь­ку По­это­му левая часть может при­ни­мать толь­ко зна­че­ния −2, −1, 0, 1, 2. Решим все по­лу­чен­ные урав­не­ния-след­ствия, а потом про­ве­рим, для каких из их кор­ней целая часть ока­зы­ва­ет­ся пра­виль­ной. Во всех ва­ри­ан­тах ниже Най­дем

Тогда

что равно −2 при вы­бо­ре знака минус. Зна­чит, нужно, чтобы было не­чет­ным или, что то же, k было не­чет­ным, тогда

Тогда

или

что равно −2 при вы­бо­ре знака минус и равно 1 при вы­бо­ре знака плюс. Зна­чит, по­лу­чить −1 нель­зя и таких ре­ше­ний не будет. Най­дем

Тогда

что равно 0 при чет­ных k и равно при не­чет­ном k. Зна­чит, нужно, чтобы k было чет­ным по­лу­чим

Тогда

или

что равно 1 при вы­бо­ре знака плюс. По­это­му надо вы­би­рать не­чет­ные k для пер­во­го слу­чая и чет­ные для вто­ро­го. Най­дем

Тогда

что равно −2 при вы­бо­ре знака ми­ну­са равно 1 при вы­бо­ре знака плюс . Зна­чит, по­лу­чить 2 нель­зя и таких ре­ше­ний не будет.

Окон­ча­тель­но

в)  Най­ди­те ко­ли­че­ство ле­жа­щих на кри­вой точек плос­ко­сти, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых суть целые числа.

За­пи­шем урав­не­ние в виде от­ку­да видно, что и   — два целых де­ли­те­ля числа 1944, да­ю­щие его в про­из­ве­де­нии. Сумма их что четно, по­это­му и сами они оба четны (или оба не­чет­ны, но тогда и их про­из­ве­де­ние было бы не­чет­но). Обо­зна­чая и по­лу­чим при­чем по любым целым a и b можно од­но­знач­но по­стро­ить и ко­то­рые по­дой­дут в из­на­чаль­ное урав­не­ние.

Оста­лось вы­яс­нить, сколь­ко всего целых де­ли­те­лей у числа Все они имеют вид где и l =0, 1, 2, 3, 4, 5, что дает ва­ри­ан­та для a и каж­дый из них од­но­знач­но опре­де­лит b.

г)  Два шах­ма­ти­ста иг­ра­ют матч до пер­вой по­бе­ды. Из­вест­но, что во встре­чах друг с дру­гом каж­дый из них, играя бе­лы­ми фи­гу­ра­ми, по­беж­да­ет с ве­ро­ят­но­стью а про­иг­ры­ва­ет с ве­ро­ят­но­стью (тем самым с ве­ро­ят­но­стью в каж­дой из пар­тий фик­си­ру­ет­ся ничья). Если в 80 пар­ти­ях матча будет за­фик­си­ро­ва­на ничья, то для опре­де­ле­ния по­бе­ди­те­ля ки­да­ют жре­бий. Оце­ни­те (с ра­зум­ной точ­но­стью) шансы на вы­иг­рыш того иг­ро­ка, с хода ко­то­ро­го нач­нет­ся этот матч.

Пер­вый игрок может вы­иг­рать в сле­ду­ю­щих слу­ча­ях:

1) Вы­иг­рать первую пар­тию. Ве­ро­ят­ность этого со­бы­тия равна

2) Сыг­рать первую пар­тию вни­чью и вы­иг­рать вто­рую. Ве­ро­ят­ность этого со­бы­тия равна

3) Сыг­рать вни­чью пер­вые две пар­тии и вы­иг­рать тре­тью. Ве­ро­ят­ность этого со­бы­тия равна

И так далее. По­это­му ве­ро­ят­ность его ито­го­вой по­бе­ды за 80 игр равна

по­сколь­ку

Ответ:

а) нет, не су­ще­ству­ет;

б)

в) 24 точки;

г) шансы пер­во­го иг­ро­ка  — ве­ро­ят­ность его по­бе­ды почти равна

С по­мо­щью фор­мул при­ве­де­ния

дан­ное вы­ра­же­ние можно пе­ре­пи­сать в виде

Далее за­ме­тим, что

Тогда по­лу­ча­ем

Ответ:

С по­мо­щью фор­мул при­ве­де­ния дан­ное вы­ра­же­ние можно пе­ре­пи­сать в виде

Далее за­ме­тим, что

Тогда по­лу­ча­ем

Ответ:

Вы­чис­лим:

Ответ:

Вы­чис­лим:

Ответ:

Пусть: при и при и Сле­до­ва­тель­но,

Тогда,

От­сю­да

Сле­до­ва­тель­но, то есть и все вы­ра­же­ние равно

Ответ:

Вы­чис­лим:

Ответ:

По фор­му­ле при­ве­де­ния имеем

Так как то и По фор­му­ле ко­си­нус суммы имеем

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть Пусть A₁, B₁, C₁ ос­но­ва­ния высот, про­ведённых из вер­шин тре­уголь­ни­ка A, B, C со­от­вет­ствен­но. За­ме­тим, что

С дру­гой сто­ро­ны,

от­ку­да ч. т. д.

Ис­поль­зуя пе­ри­о­дич­ность и фор­му­лу при­ве­де­ния, по­лу­ча­ем

Далее будем ис­поль­зо­вать

Под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние:

Ответ: 3.