Всего: 3 1–3
Добавить в вариант
Найти все решения уравнения: 
Можно, действуя прямо в лоб, заменить 
после преобразований получим:
откуда 
Следовательно, 
Можно решать по-другому, заменить квадраты косинусов через косинусы двойного угла, получив 
затем свернуть сумму первого и третьего слагаемых в удвоенное произведение косинусов, выразить всё через 
получив уравнение 
с решениями 
Ответ: 
Примечание: Во всём решении k, l, m берутся из множества целых чисел.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
Нахождение значений  или  . | 4 |
| Верное выписывание всех серий решений. | 3 |
| Потеря части решений. | 4-5 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Примечание: Во всём решении k, l, m берутся из множества целых чисел.
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Найдите все b, при которых система неравенств
имеет единственное решение.
а) Область определения неравенства — луч 
Поскольку 
то
значит,
Решением первой системы неравенств является отрезок 
решение второй — отрезок 
— не лежит в области определения исходного неравенства.
Ответ: 
б) Выражение 
при помощи преобразования произведения косинусов в сумму и наоборот может быть приведено к виду 
откуда 
или 
Ответ: 
в) Первое из неравенств системы задает множество точек, лежащих не ниже параболы 
второе — множество точек, лежащих, не левее симметричной ей относительно прямой 
параболы 
Ясно, что эти множества имеют единственную общую точку тогда и только тогда, когда первая парабола касается прямой 
поскольку тогда вторая парабола также касается этой прямой, причем в той же самой точке. Парабола 
касается прямой если квадратное уравнение 
имеет единственное решение. Приравняв нулю дискриминант этого уравнения, получим ответ.
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Что больше: 
или 
Преобразуем левое выражение:
Ответ: второе число больше.
Приведем другое решение.
Преобразуем левое выражение:
Используя равенства 
и 
получаем
Заметим, что
Наверх