Всего: 15 1–15
Добавить в вариант
Даны числа 
Найдите максимальное значение выражения
Воспользуемся неравенством
при 
Тогда с учетом неравенства Коши для средних
откуда 
Равенство реализуется при 
Ответ: 
Приведем друге решение.
Заметим, что для любого t:
В силу неравенства Коши для средних
Применим эту оценку при 
и затем сложим получившиеся неравенства. Тогда
откуда 
Равенство реализуется при
Числа x, y, z — углы треугольника, причем больший угол z не превосходит 
Найдите максимальное значение выражения
В силу неравенства Коши для средних
Положим
Заметим, что 
Если 
то заменим y на 
При этом увеличатся 
и 
а значит, и B. Поэтому максимум B достигается при 
В этом случае
Таким образом, 
Равенство реализуется при 
и 
Ответ: 
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Решите уравнение
Отметим, что 
и умножим обе части уравнения на 
Получим
При условии 
обе части этого уравнения можно возвести в квадрат. Так как
то неравенство справедливо, если
При найденных ограничениях и условиях 
и уравнение равносильно следующему:
Таким образом, приходим к уравнению 
то есть 
отсюда 
Учитывая ограничения, получаем решения исходного уравнения: 
и 
Ответ: 
Решите уравнение
Отметим, что и умножим обе части уравнения на 
Получим
При условии обе части этого уравнения можно возвести в квадрат. Так как
то неравенство справедливо, если
При найденных ограничениях и условиях и уравнение равносильно следующему:
Таким образом, приходим к уравнению 
то есть 
отсюда Учитывая ограничения, получаем решения исходного уравнения: и где
Ответ:
Решите уравнение
Отметим, что и умножим обе части уравнения на Получим
При условии 
обе части этого уравнения можно возвести в квадрат. Так как
то неравенство справедливо, если
При найденных ограничениях и условиях и 
уравнение равносильно следующему:
Таким образом, приходим к уравнению: отсюда 
или 
Учитывая ограничения, получаем решения исходного уравнения: 
Ответ: 
Решите уравнение
Отметим, что и умножим обе части уравнения на Получим
При условии 
обе части этого уравнения можно возвести в квадрат. Так как
то неравенство справедливо, если
При найденных ограничениях и условиях и уравнение равносильно следующему:
Таким образом, приходим к уравнению
Учитывая ограничения, получаем решения исходного уравнения: где
Ответ:
Решите уравнение 
Левая часть уравнения при помощи введения вспомогательного угла приводится к виду 
Значит, она не превосходит 5. Для правой части в силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим (для положительных чисел) будем иметь:
Ответ: нет корней.
Каждая из четырёх задач данной олимпиады оценивается, исходя из максимума в 25 баллов. Таким образом, максимальный результат участника может быть 100 баллов. Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.
| Символы-баллы | Правильность (ошибочность) решения |
|---|---|
| +25 | Полное верное решение |
| +20 | Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение. |
| ±16 | Решение в целом верное, но содержит мелкие ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений. |
| +/2 13 | Верно рассмотрен один (более сложный) из существенных случаев, верно получена основанная оценка. |
| ±10 | Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи. |
| −5 | Рассмотрены только отдельные важные случаи или имеются начальные продвижения. |
| 0 | Решение неверное, продвижения отсутствуют. |
| 0 | Решение отсутствует (участник не приступал). |
Если в задаче два пункта, то только за один решенный пункт максимальная оценка 13 баллов. Рекомендуется сначала оценивать задачу в символах («плюс-минусах»); при необходимости оценку в символах можно дополнить значком-стрелкой вверх или вниз, что скорректирует соответствующую оценку на один балл. Например, символ 
будет соответствовать 17 баллам.
Сколько пар чисел (x; y), 
и 
удовлетворяют системе
Найти значения первой координаты x таких решений
Перепишем систему
в виде
Из того что правые части этой системы неотрицательны, следует что 
и 
Возводим оба уравнения полученной системы в квадрат
и складываем. В результате получим
или
Используя формулу дополнительного аргумента, перепишем это уравнение в виде:
Отсюда находим
Вычислим 
и 
для 
Аналогично, вычислим и для 
В обоих случаях условия 
и 
выполнены.
Первый случай:
Тогда 
а 
В этом случае решение системы можно записать в виде
Условию 
и 
удовлетворяют наборы с 
и с 
Итого 4 решения.
Второй случай:
Тогда 
a 
В этом случае решение системы можно записать в виде
Условию 
и 
удовлетворяют наборы с и с Итого 4 решения.
Всего получаем 8 решений. Выпишем значения первой координаты x таких решений:
Ответ: 4 пары; значение первой координаты:
При каких значениях a существует b такое, что уравнение 
не имеет решений?
Пользуясь методом вспомогательного аргумент а, приходим к уравнению
Ответом к задаче будут a, удовлетворяющие соотношению
Ответ: 
Замечание.
Подразумевается, что уравнение может не иметь решений вообще ни при каких b.
Решите неравенство 
Справедливо
Решением уравнения
являются точки
Отметив эти точки на тригонометрической окружности и применив метод интервалов, получаем ответ
Ответ: 
Решите уравнение
Преобразуем уравнение
Если 
то подставляя в уравнение, получим 
чего быть не может. Разделим на 
Сделаем замену 
следовательно,
Ответ: 
Найдите наименьшее значение функции 
В силу неравенства 
имеем
Достигается при
Ответ: 
Сумма синусов пяти углов из промежутка 
равна 3. Какие наибольшее и наименьшее целые значения может принимать сумма их косинусов?
Заметим, что
Аргумент синуса принимает значения от 
до 
значит,
Следовательно, 
а сумма пяти синусов и пяти косинусов принимает значения от 5 до 
что чуть больше 7. Вычитая 3, получаем наименьшее и наибольшее возможные целые значения суммы: 2 и 4 соответственно.
Осталось привести примеры: значение 2 достигается, когда три угла принимают значения 0, другие 2 — значение Значение 4 достигается, когда все углы имеют синусы, равные 
и косинусы, равные 
Ответ: 2 — наименьшее значение и 4 — наибольшее.
По 0,5 балла за верные оценку и пример для минимума и максимума.
Сумма синусов пяти углов из промежутка 
равна 3. Какие наибольшее и наименьшее целые значения может принимать сумма их косинусов?
Заметим, что
Аргумент синуса принимает значения от до значит,
Следовательно, а сумма пяти синусов и пяти косинусов принимает значения от 5 до что чуть больше 7. Вычитая 3, получаем наименьшее и наибольшее возможные целые значения суммы: 2 и 4 соответственно.
Осталось привести примеры: значение 2 достигается, когда три угла принимают значения 0, другие 2 — значение Значение 4 достигается, когда все углы имеют синусы, равные и косинусы равные
Ответ: 2; 4 ИЛИ 4; 2.
Решите уравнение 
Для данного равенства возможны два случая.
1. Если 
при этом
2. Если 
Поскольку
то в этом случае решений нет.
Ответ: 
| Содержание критерия | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью | + | 10 |
| Задача в основном решена, необходимые неравенства указаны, но не доказаны | +/- | 8 |
| Ход решений верный, но при выписывании корней допущены ошибки | -/+ | 4 |
| C самого начала (и до конца решения) рассматривался только один из двух возможных случаев | -/. | 2 |
Наверх