Всего: 13 1–13
Добавить в вариант
У Пети есть линейка длиной 10 см (то есть с помощью неё нельзя проводить отрезки длиной больше 10 см), и циркуль с максимальным раствором 6 см (то есть с помощью него невозможно рисовать окружности радиуса больше 6 см). Делений на линейке и циркуле нет, то есть измерять расстояния ими нельзя.
На листе бумаги нарисованы две точки. Известно, что расстояние между ними равно 17 см. Покажите, как Петя может соединить эти точки отрезком, используя только ту линейку и циркуль, которые у него есть.
Треугольник ABC, в котором AB > AC, вписан в окружность с центром в точке O. В нём проведены высоты AA' и BB', и BB' повторно пересекает описанную окружность в точке N. Пусть M — середина отрезка AB. Докажите, что если ∠OBN = ∠NBC, то прямые AA', ON и MB' пересекаются в одной точке.
Треугольник ABC, в котором AB > AC, вписан в окружность с центром в точке O. В нём проведены высоты AA' и BB', и BB' повторно пересекает описанную окружность в точке N. Пусть M — середина отрезка AB. Докажите, что если ∠OBN = ∠NBC, то прямые AA', ON и MB' пересекаются в одной точке.
Треугольник ABC, в котором AB > AC, вписан в окружность с центром в точке O. В нём проведены высоты AA' и BB', и BB' повторно пересекает описанную окружность в точке N. Пусть M — середина отрезка AB. Докажите, что если ∠OBN = ∠NBC, то прямые AA', ON и MB' пересекаются в одной точке.
Окружность с центром O описана вокруг четырехугольника ABCD с перпендикулярными диагоналями. Точки P и Q — середины дуг ABC и ADC этой окружности. Прямая BO пересекает отрезок CQ в точке R. На стороне AB выбрана такая
Поэтому достаточно доказать равенство 
или, что тоже самое, 
По условию четырехугольник ABCQ вписанный и прямые AQ и RS параллельны. Следовательно, четырехугольник SBCR также вписанный. Тогда 
на отрезке BD выбрана так, что DE = JE. Известно, что 
= 90°. Найдите отношение площадей треугольников ADJ и BEJ.
то 
Также треугольники ABM и MBE подобны, а EL и MS их медианы, проведенные из соответственных вершин. Поэтому 
откуда EL перпендикулярна SM. Но SM параллельна BC как средняя линия треугольника ABC. Следовательно, EL и BD — перпендикулярны, то есть точки E, K, L лежат на одной прямой. Поскольку точка K лежит на медиане ЕL треугольника BEM, то площади треугольников EMK и EBK равны. Также площади треугольников EKJ и EKD равны. Следовательно, площади треугольников BEJ и KDM равны. Но площадь треугольника ADJ в четыре раза больше площади треугольника KDM, так как высота из вершины A вдвое больше высоты из вершины M и 
Итого, искомое отношение 4.
Докажите, что 
счетом углов находим, что AD биссектриса 
Опустим перпендикуляр DH из точки D на прямую AB. Тогда 
и 
Найдите длину стороны CD.
и 
поэтому точки O и B лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AD. Так как AC — диаметр, то 
В итоге получаем, что радиус OB параллелен хорде DC. Следовательно, треугольник OBP подобен треугольнику CDP. В итоге получаем 
Отрезки 
и 
с концами на сторонах остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке P внутри треугольника. На каждом из этих отрезков как на диаметре построена окружность, в которой перпендикулярно этому диаметру проведена хорда через точку P. Оказалось, что три проведённые хорды имеют одинаковую длину. Докажите, что P — точка пересечения высот треугольника ABC.
(Г. Гальперин)
B и 
лежат на одной окружности. Значит, 
—
и 
—Дан треугольник ABC, O1 — центр его вписанной окружности; O2 — центр окружности, касающейся стороны BC и продолжений двух других сторон треугольника ABC. На дуге BO2 описанной окружности треугольника O1O2B отмечена такая точка D, что угол BO2D вдвое меньше угла BAC, M — середина дуги BC описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что точки D, M, C лежат на одной прямой.
(О. А. Пяйве)
Но угол BCM тоже равен 
(поскольку опирается на половину дуги BC), так что точки D, M, C лежат на прямой. Параллелограмм ABCD разделён диагональю BD на два равных треугольника. В треугольник ABD вписан правильный шестиугольник так, что две его соседние стороны лежат на AB и AD, а одна из вершин — на BD. В треугольник CBD вписан правильный шестиугольник так, что две его соседние вершины лежат на CB и CD, а одна из сторон — на BD. Какой из шестиугольников больше?
тогда 
В треугольнике PCO: 
значит, 
и поэтому 
Получаем 
их разность 
тогда угол CKS не острый, и равный ему угол CPS — тоже не острый. Тогда тупыми будут углы PKS и CPK, откуда дуги PKS и CPK меньше полуокружности, их нам и надо сравнить. Общую часть этих дуг можно выбросить и сравнить дуги CP и KS, а для этого достаточно сравнить хорды CP и KS. Пусть X — точка пересечения PQ и C K. Тогда 
(в силу симметрии относительно O ). Заметим, что 
(так как угол B параллелограмма равен 60°), 
откуда 
Значит, 
так как в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. 
).