Всего: 63 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–63
Добавить в вариант
В четырёхугольнике АВСD точки P, Q, R, S — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно, а T — точка пересечения отрезков PR и QS. Докажите, что сумма площадей четырёхугольников APTS и СRTQ равна половине площади четырёхугольника АВСD.
площади четырёхугольника XYZT. Покажем, что площадь последнего четырёхугольника равна половине площади ABCD. Заметим, что отрезок XY является средней линией треугольника АВС, поэтому площадь треугольника XBY равна четверти площади треугольника ABC. Аналогично, площадь треугольника ZDT равна четверти площади треугольника CDA, а сумма площадей XBY и ZDT равна четверти площади ABCD. Так же доказывается, что и сумма площадей YCZ и TAX равна четверти площади ABCD. Наконец, площадь XYZT равна разности площадей ABCD и треугольников XBY, ZDT, YCZ и TAX, то есть половине площади ABCD. Окончательно, площадь четырёхугольника равна 
площади четырёхугольника ABCD.
где S — площадь четырехугольника. Что за четырехугольник построил ученик, и что за точку указал учитель?
длины диагоналей обозначим через 
и 
через α — угол между диагоналями. Тогда 
Следовательно, искомый четырёхугольник квадрат, а точка P — точка пересечения диагоналей.
где S — площадь четырехугольника. Что за четырехугольник построил ученик, и что за точку указал учитель?
длины диагоналей обозначим через 
угол между диагоналями. Тогда В прямоугольный треугольник ABC 
вписана окружность Γ с центром I, которая касается сторон AB и BC в точках K и L соответственно. Прямая, проходящая через точку I, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите радиус окружности Γ, если 
Найдите AC, если дополнительно известно, что прямая MN параллельна AC.
откуда 
Тогда 
В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность Γ с центром I, которая касается сторон AB и BC в точках K и L соответственно. Прямая, проходящая через точку I, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите радиус окружности Γ, если 
Найдите AC, если дополнительно известно, что прямая MN параллельна AC.
откуда 
проведённая из B, равна 
и 
Окружность 
радиуса 6 с центром O вписана в остроугольный треугольник CFM и касается его сторон CM и FM в точках P и K соответственно. Окружность 
радиуса 
с центром T описана около треугольника PKM.
а) Найдите OM.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площади треугольника CFT к площади треугольника CFM равно 
Найдите длину биссектрисы MA треугольника CFM, а также его площадь.
Отрезок OM равен удвоенному радиусу этой окружности, т. е. 
через B, высоту треугольника, проведённую из вершины M, через MH. Пусть 
Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому 
Из треугольника POM находим, что 
Отсюда получаем 
из треугольника AOB получаем, что 
где 
—
получаем, что 
откуда 
тогда 
Окружность радиуса 4 с центром O вписана в остроугольный треугольник EFQ и касается его сторон FQ и EQ в точках M и P соответственно. Окружность радиуса 
с центром T описана около треугольника PQM.
а) Найдите OQ.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площади треугольника FTE к площади треугольника EFQ равно
Найдите длину биссектрисы QA треугольника EFQ, а также его площадь.
Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому 
Из треугольника POQ находим, что 
Отсюда получаем 
из треугольника AOB получаем, что 
где 
—
получаем, что 
откуда 
тогда 
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке D. Отрезок BD повторно пересекает окружность в точке E. Точки F и G на окружности таковы, что FE || BC и GE || BA. Докажите, что отрезок, соединяющий центры вписанных окружностей треугольников DEF и DEG, делится пополам биссектрисой угла GDF.
(Ф. Бахарев)
и 
—
и 
Несложно показать, что касательная, параллельная хорде, проходит через середину дуги, которую стягивает хорда. Из чего следует, что точка X лежит на прямой 
а точка Y — на прямой 
По свойству касательной 
поэтому треугольники BXE и BDX подобны и имеет место равенство 
И по аналогичным соображениям 
Но 
а значит, 
и 
Подставляя в последнее равенство, получаем, что 
и биссектриса угла 
пересекает вторично вписанную в треугольник 
окружность в точке 
Тогда 
и 
равны, и 
Подставляя эти равенства в (*), получаем 
получаем равенство площадей 
что, очевидно, возможно только в том случае, когда 
делит 
пополам. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке D. Отрезок BD повторно пересекает окружность в точке E. Точки F и G на окружности таковы, что
и 
Докажите, что прямая, соединяющая центры вписанных окружностей треугольников DEF и DEG, перпендикулярна биссектрисе угла B.
(Ф. Бахарев)
Подставляя в последнее равенство, получаем, что 
и биссектриса угла GDF пересекает вторично вписанную в треугольник ABC окружность в точке E1. Тогда 
и 
Подставляя эти равенства в (∗), получаем 
т. е. 
Но из подобия треугольников 
и 
следует, что 
Поэтому 
мы получим 
откуда 
и 
то есть AKMN — ромб. Значит, AM — биссектриса угла BAD.
и 
Найти 
тогда 
диаметр окружности. Значит, 
диагональ квадрата EFGH, отсюда 
Итого:
На боковых ребрах AD, BD и CD тетраэдра ABCD взяты, соответственно, точки A1, B1, C1 такие, что плоскость A1B1C1 параллельна основанию АВС. Точка D1 лежит в основании. Докажите, что объем тетраэдра A1B1C1D1 не превосходит 
где V — объем тетраэдра ABCD.
и h — высота тетраэдра ABCD из точки D. Тогда h − xh — высота тетраэдра A1B1C1D1 из точки D1. 
получаем задачу на максимум для функции 
Решая эту задачу с помощью производной 
находим критическую точку 
в которой достигается наибольшее значение 
(в другой критической точке 
так же, как и при 
очевидно, достигается наименьшее значение 0). Что требовалось доказать.
поэтому AD и BD не боковые стороны, а основания трапеции. Тогда треугольники AOD и BOC подобны по двум углам, а отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия k. Поэтому 
Поскольку треугольники ABO и CBO имеют общую высоту, проведённую из вершины B, отношение их площадей равно отношению их оснований, то есть 
следовательно, 
см2.
Когда в неравенстве достигается равенство?
тогда 
и умножаем на 
получим равносильное 
сторону рассматриваемого квадрата обозначим через q.
Дана правильная четырёхугольная пирамида. Сторона основания равна 6, длина бокового ребра равна 5. Сфера Q1 вписана в пирамиду. Сфера Q2 касается Q1 и всех боковых граней пирамиды. Найдите радиус сферы Q2.
Очевидно, сфера Q2 вписана в эту пирамиду. Легко найти высоту отсечённой пирамиды: 
