Всего: 62 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–62
Добавить в вариант
Найдите все корни уравнения 
лежащие на интервале 
Преобразуем:
Замена: 
Тогда
Замена: 
Уравнение примет вид
Имеется корень 
и левая часть может быть разложена на множители следующим образом:
(1)
Так как 
то 
Следовательно, 
При таких z многочлен пятой степени в левой части (1) принимает только отрицательные значения, так как 
и 
Поэтому 
— единственный корень уравнения (1). Далее легко найти, что 
и 
Ответ: 
Найдите все вещественные c, при которых сумма девятых степеней корней уравнения x2 − x + c = 0 равна нулю, и сумма пятнадцатых степеней тоже равна нулю. Замечание: корни могут быть комплексными.
Первое решение. Обозначим корни через x1 и x2 и воспользуемся теоремой Виетта. Задача переформулируется так: известно что 
и x1 + x2 = 1, найти x1x2.
Для начала заметим, что x1x2 ≠ 0, поскольку в противном случае одно из x1, x2 равно нулю, тогда 
влечет что и второе равно нулю, что противоречит 
Теперь посмотрим, что получится если сумму девятых степеней домножить на суммы шестых (ноль поскольку сумма девятых ноль) и вычесть сумму пятнадцатых (тоже ноль).
Поскольку c ≠ 0 имеем 
(!). С другой стороны
откуда 
Второе решение. Так же как в первом решении докажем равенство (!), вместо последнего шага сделаем следующее. Заметим, что если x1, x2 — действительные корни, то одновременное выполнение (!) и 
невозможно из-за монотонности куба.
Если x1, x2 не действительные то они сопряжены, тогда их кубы – тоже. Если сумма двух сопряженных чисел равна нулю, то их аргументы имеют вид 
то есть до возведения в куб аргумент имел вид 
или эквивалентно 
где m ∈ {1, 3, 5}. Обозначив аргумент через r имеем для тех случаев соответственно 
В первом случае 
два других невозможны поскольку аргумент – неотрицательное число. Получаем 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведено полное решение. | 18 |
| Верное решение, но отсутствует проверка, что 1/3 подходит (доказано только что числа, неравные 1/3, не подходят). | 16 |
| Верное решение за исключением случая действительных корней. | 12 |
| Верное решение, но отсутствует проверка, что 1/3 подходит (доказано только что числа, неравные 1/3, не подходят). | 9 |
| В работе корректно доказано, что все возможные значения c принадлежат некоторому конечному множеству, элементы которого выписаны явно (не как корни системы уравнений), но множество содержит не только 1/3, и все множество указано в качестве ответа. | 8 |
| Правильный ответ без решения. | 0 |
| Максимальный балл | 18 |
На доске написаны четыре различных положительных числа. Известно, что это 
и 
но неизвестно, в каком порядке. Всегда ли можно определить, где именно каждое из чисел?
Докажем существование таких чисел x и z, что 
и, кроме того,
Тогда на доске находятся, во-первых, числа 
и 
а, во-вторых, 
и невозможно определить, где какое число.
Решим уравнение:
Возведя уравнение в квадрат и раскрыв тангенс, получаем 
Обозначив 
Это уравнение имеет подходящий корень 
Осталось убедиться, что при таком значении 
все четыре числа различны. Это правда, так как числа из одной пары 
или 
совпадают при квадрате синуса равном 
совпадение чисел из разных пар означает равенство и вторых чисел тоже, откуда тангенс угла равен его синусу или косинусу, что также не выполняется при найденном значении. Кроме того, все эти числа меньше единицы, поэтому котангенса среди них нет.
Можно также просто вычислить эти числа, это
Ответ: нет, не всегда.
Замечание. Более простые варианты, при которых мы не можем однозначно распределить числа, не подходят из-за запрета равенства чисел или запрета наличия котангенса. В силу симметрии у задачи есть второе решение, в котором x и z меняются местами.
Только ответ «не всегда» — 0 баллов.
Ответ с конкретными (правильными) числами без объяснения — 1 балл.
Решение, в котором доказывается существование таких чисел, но они не находятся в явном виде без необходимых проверок на соответствие дополнительным условиям — 2 балла.
На доске написаны четыре различных положительных числа. Известно, что это 
и 
но известно, в каком порядке. Всегда ли можно определить, где именно каждое из чисел?
Докажем существование таких чисел x и z, что 
и, кроме того, 
Тогда на доске находятся, во-первых, числа 
и а, во-вторых, 
и невозможно определить, где какое число.
Возведём равенство 
в степень минус два (мы это можем делать, так как всё равно ищем положительные решения) и получим
Таким образом, нам необходимо решить уравнение 
что, после замены 
решим уравнение
Это уравнение имеет подходящий корень 
Осталось убедиться, что при таком значении 
все четыре числа различны. Это правда, так как числа из одной пары или 
совпадают при квадрате косинуса равном 1; совпадение чисел из разных пар означает равенство и вторых чисел тоже, откуда синус угла равен его тангенсу или котангенсу, что также не выполняется при найденном значении. Кроме того, что отсутствует на доске, так как 
аналогично для 
Можно также просто вычислить эти числа, это
Ответ:
Замечание. Более простые варианты, при которых мы не можем однозначно распределить числа, не подходят из-за запрета равенства чисел или запрета наличия косинуса. В силу симметрии у задачи есть второе решение, в котором x и z меняются местами.
Только ответ «не всегда» — 0 баллов.
Ответ с конкретными (правильными) числами без объяснения — 1 балл.
Решение, в котором доказывается существование таких чисел, но они не находятся в явном виде без необходимых проверок на соответствие дополнительным условиям — 2 балла.
Для чисел x, y, z, t из интервала 
выполняется равенство
Докажите, что сумма некоторых двух из чисел x, y, z, t равна сумме двух остальных.
Введем обозначения 
Используя формулы
получим равенство
которое преобразуется в равенство 
Итак, должно выполнятся хотя бы одно из равенств: p = r или q = s. В первом случае имеем
Во втором случае получаем, что 
Таким образом, всегда сумма некоторых двух из чисел x, y, z, t равна сумме двух остальных.
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью. | + | 12 |
| Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования. ИЛИ Рассмотрены оба возможных случая (p = r и q = s) или представлено альтернативное решение, некоторые обоснования. | ± | 8 |
| Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. Верно рассмотрен только один из возможных случаев (p = r и q = s). | +/2 | 6 |
| Решение незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. | ∓ | 2 |
| Задача не решена, содержательных продвижений нет. | − | 0 |
| Задача не решалась. | 0 | 0 |
Найти все корни уравнения 
удовлетворяющие условию 
Введем тригонометрическую подстановку 
Тогда
Исходное уравнение превращается в тригонометрическое
Умножим это уравнение на 
получим 
Отсюда 
и, значит,
Решая это уравнение с учетом того, что 
получаем следующие корни исходного уравнения: 
Ответ: 
Обоснованно получен верный ответ —10 баллов. Решение верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов. Получены некоторые вспомогательные утверждения, обеспечивающие продвижение в решении в верном направлении — 3−4 балла. Ответ получен подбором, но при этом выполнена проверка — 1 балл.
Решите неравенства:
а) 
б) 
в) Докажите, что уравнение 
имеет решения при любых целых k.
а) Сделав замену
получим неравенство 
которое можно решить стандартным методом, однако с некоторой целью построим график функции, заданной формулой 
(см. рисунок). Ясно, что неравенство 
выполняется при 
значит, 
Ответ: 
б) Замена 
приводит к неравенству 
или 
где 
(см. пункт а)). Из графика функции f (см. рисунок) получаем, что 
или 
или 
откуда и следует ответ.
Ответ: 
в) Аналогично предыдущим пунктам, сделав замену 
получим уравнение 
или 
Множеством значений 
при 
является объединение лучей 
(см. рис.), которое содержит все целые числа.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) Замена приводит к неравенству или где (см. пункт а)). Из графика функции f (см. рисунок) получаем, что или или откуда и следует ответ.
Решите неравенства:
а) 
б) 
в) Найдите все такие целые k, что уравнение 
не имеет решений.
а) Неравенство определено при 
и при таких x можно домножить его на 
и возвести потом в квадрат (обе части будут неотрицательны)
Корнями уравнения 
будут 
поэтому множеством решения неравенства будут 
Ясно, что 
поэтому учитывая условие 
получим окончательный ответ 
Ответ: 
б) Найдем область определения неравенства. Требуется выполнение следующих условий: 
и 
Последнее условие дает 
и 
Вместе с первыми получим область определения 
Теперь преобразуем неравенство и сделаем замену 
тогда 
и
Неравенство примет вид
С помощью метода интервалов получим ответ 
Отсюда 
где 
Поскольку все такие x входят в ОДЗ неравенства, это и есть окончательный ответ.
Ответ: 
в) Преобразуем уравнение
Обозначим 
тогда уравнение примет вид 
и нам нужно, чтобы это уравнение не имело корней на промежутке 
Для этого достаточно, чтобы были положительны значения в концах этого отрезка и при 
если 
то есть при 
Подставляя 
получим 
т. е. 
где 
Подставляя 
получим 
т. е. 
где 
Подставляя 
получим
Первым двум условиям удовлетворяют 
При этом для 
этих условий достаточно. Для прочих k еще нужно выполнение условий 
поэтому 
не подходит. Окончательно 
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Найдите наименьшее положительное решение уравнения 
б) Найдите число решений уравнения 
в) Докажите, что уравнение 
имеет ровно два решения.
г) Найдите наибольшее по абсолютной величине значение выражения 
при 
а) Замена 
приводит к уравнению 
откуда 
Корнями последнего уравнения являются числа 2 и 
Поскольку функция 
возрастающая, а 
то отсюда и следует ответ.
Ответ: 
б) Два решения при 
одно — при 
(см. рис.).
в) Так как
то графики правой и левой частей данного уравнения выглядят так, как показано на рисунке. Строгое доказательство приведено в Дополнении.
Ответ: два корня.
г) Если 
тогда 
отсюда
Ответ: 576.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
два корня. 576.а) Найдите наименьшее положительное решение уравнения 
б) Найдите число решений уравнения 
в) Докажите, что уравнение 
имеет ровно два решения.
г) Докажите, что выражение 
принимает любое действительное значение тогда и только тогда, когда только одно из чисел a, b лежит между c и d.
а) Обозначим 
тогда
и 
Уравнение примет вид
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
Значит, либо 
либо 
Ясно, что каждое свое положительное значение 
впервые при положительном x принимает на 
— возрастающая функция). Докажем, что
что очевидно, на самом деле 
Значит, наименьший положительный корень уравнения 
Ответ: 
б) Запишем уравнение в виде 
и изобразим графики обеих частей.
Правая часть дает график, похожий на 
только отраженный относительно вертикальной оси, сдвинутый вправо на 5 и вниз на −2.
Левая часть дает прямую, проходящую через начало координат. При 
очевидно есть одна общая точка, как и при 
При 
уменьшение a поворачивает прямую вокруг начала координат. При 
будет два корня — один при отрицательных x, второй при положительных.
При дальнейшем уменьшении a отрицательный корень будет всегда, а положительный исчезнет после того, как прямая пройдет через начальную точку графика 
и 
Это случится когда 
или 
Итак, получаем ответ. При 
—
Ответ: два решения при 
одно — при 
в) Перепишем уравнение в виде 
Заметим, что при 
левая часть равна
при 
левая часть равна
при 
левая часть равна 
Отсюда по непрерывности 
и 
есть корни. Итак, корней не менее двух.
Докажем, что корней не больше двух. Как известно, между двумя корнями непрерывно дифференцируемой функции всегда есть корень ее производной (это следствие теоремы Ролля), поэтому если корней больше двух, то у производной больше одного корня. Но производная равна
Итак, требуется найти условие, при котором для любого числа α существует решение квадратного уравнения
или
(случай 
следует рассмотреть отдельно). Преобразуем дискриминант этого квадратного уравнения:
Положим для краткости
и
Тогда
и 
Квадратное уравнение (относительно x) имеет решение тогда и только тогда, когда при всех α верно неравенство 
для чего необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратичного относительно α выражения 
был не положителен. Проделанные вычисления показывают, что последний дискриминант равен
Для завершения доказательства осталось проверить, что неравенство
имеет место, когда одно из чисел a, b лежит между c и d.
г) Будем считать, что 
По условию, уравнение 
должно быть разрешимо для любого k. Преобразуем это уравнение 
получим 
При 
уравнение сводится к 
то есть к 
Это уравнение имеет корни всегда, кроме возможно случая, когда 
что невозможно, если ровно одно из чисел a и b лежит между c и d (например, если 
то 
аналогично разбираются и другие варианты), а мы ниже установим, что это условие выполнено.
При прочих k получаем квадратное уравнение
Его дискриминант должен быть неотрицателен. Вычислим его:
Для того, чтобы это выражение было всегда неотрицательно (теоретически кроме 
но если квадратный трехчлен неотрицателен везде, кроме одной точки, то он неотрицателен и в ней), необходимо и достаточно чтобы старший коэффициент этого квадратного трехчлена от k был положителен (это так) и его дискриминант был не положителен. Вычислим его:
Равенство нулю невозможно, поскольку a, b, c, d различны. Значит, на самом деле это выражение меньше нуля, откуда 
и 
имеют различные знаки. Но выражение 
отрицательно при 
и отрицательно при 
и 
значит, одно из чисел a и b лежит между c и d, а другое не лежит.
Обратно. Пусть числа расположены именно так. Тогда 
поэтому дискриминант трехчлена
не положителен, поэтому его значения всегда неотрицательны и трехчлен
всегда имеет корни, кроме того при уравнение 
разрешимо. Значит, функция действительно принимает все значения.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
два решения при одно — при Решите уравнение:
В ответ запишите сумму его корней на отрезке [11; 19].
Обозначим 
Тогда, воспользовавшись формулой косинуса тройного угла, получим
Так как во втором уравнении системы левая часть неположительная, а правая неотрицательна, то получаем из первого уравнения 
(то есть 
а из второго 
где 
Поэтому 
или 
где 
Из первой серии на отрезок 
попадут 24 числа при 
их сумма равна
Из второй серии на отрезок попадут 6 чисел при 
их сумма равна
Общая сумма: 
Ответ: {112,5}.
Решите уравнение:
В ответ запишите сумму его корней на отрезке [−12; 19].
Даны числа x, y, удовлетворяющие условию 
Докажите неравенство 
В силу четности достаточно рассмотреть неотрицательные x и y. Можно также считать, что
иначе переставим x и y, увеличив левую часть неравенства. Из условия вытекает, что 
и 
Положим 
и рассмотрим пятиугольник ОABCD с вершинами в точках 
(см. рисунок). Так как 
и
пятиугольник содержится в четверти единичного круга с центром в О, лежащей в первом квадранте. Поэтому
Приведём другое решение. В силу четности достаточно рассмотреть неотрицательные x и y. Положим 
и 
По условию
откуда 
Поэтому
Приведём еще одно решение. Положим и 
Тогда
В силу неравенства Коши
Поэтому
Найти наименьшее и наибольшее значения функций 
В ответе указать модуль их разности.
Варианты ответов:
| а | б | в | г | д |
| 0,875 | 0,125 | 0,25 | 0,5 | 1 |
Преобразуем исходное выражение:
Пусть 
Тогда
Заметим, что 
переменная t принимает значения 
Функция g на этом отрезке монотонно убывает. Таким образом, значения на отрезке будут 
и 
Модуль разности этих значений
Ответ: 0,875.
При каком 
числа 
являются членами геометрической прогрессии. В ответе записать 
Варианты ответов:
| а | б | в | г | д |
| −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
Заметим, что
выполняем универсальную подстановку
Получаем
или
Имеем 
то есть 
В итоге 
Ответ: −2.
Решить уравнение 
Возьмем cos от обоих частей уравнения: 
Пусть
имеем
то есть получаем уравнение:
Решая его получаем 
Выполняем проверку и делаем вывод.
Ответ: {0}.
Решите неравенство: 
Обозначим 
и 
Тогда справедливо соотношение 
Решением неравенства 
является множество
на чертеже оно закрашено серым. Прямая 
имеет общие точки с этим множеством — это отрезок с выколотой 
Таким образом,
откуда, с учетом убывания арккосинуса,
Ответ: 
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верно найдено решение неравенства относительно arccos x или arcsin x, но ответ относительно переменной x неверный ИЛИ в ответ включена выколотая точка | 10 |
| Задача верно сведена к решению системы уравнений и неравенств относительно u = arccos x и v = arcsin x, но эта система не решена ИЛИ в решении с применением тригонометрических функций к внешним аркфункциям задача верно сведена к неравенству на внутренние аркфункции, но не доведена до ответа. | 5 |
Найдите все корни уравнения 
лежащие на отрезке 
В ответ запишите деленную на 
сумму этих корней (в радианах), округлив ее при необходимости до двух знаков после запятой.
Пусть 
Тогда 
поэтому уравнение принимает вид
Так как 
эти равенства возможны только при 
и 
Следовательно, 
или 
Учитывая, что
получаем решение исходного уравнения:
Поскольку
на отрезок 
попадают 5 корней 
сумма которых равна 
Ответ: −6,25.
Найдите все корни уравнения 
лежащие на отрезке 
В ответ запишите деленную на сумму этих корней (в радианах), округлив ее при необходимости до двух знаков после запятой.
Найдите сумму всех целых чисел 
удовлетворяющих неравенству:
Обозначим 
тогда неравенство принимает вид
Так как
то неравенство приводится к виду 
то есть 
Поэтому
Необходимо ещё учесть условия 
Получаем, что из полученного решения нужно вырезать 
где 
Таким образом, 
и 
В отрезок 
попадают числа −2, 2, 5, 6, 7, 10. Их сумма равна 28.
Ответ: 28.
Наверх