Всего: 145 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Сколько существует натуральных чисел n не превосходящих 2017, таких что квадратный трёхчлен 
раскладывается на линейные множители с целочисленными коэффициентами?
По условию задачи 
Следовательно, ab = −n, то числа a и b разных знаков и не равны нулю. Без ограничения общности будем считать, что 
Поскольку 
то
Таким образом, получаем 44 пары чисел a и b, удовлетворяющих заданным условиям.
Ответ: 44.
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Полное решение. | + | 10 |
| Все логические шаги решения приведены, в том числе оценка для одного из корней и связь между корнями квадратного трехчлена. Ответ неверный. | ± | 7 |
| Верно дана оценка для одного из корней квадратного трехчлена. Ответ неверный или отсутствует. | +/2 | 5 |
| Показана связь между n и корнями квадратного трехчлена. Приведены неверные оценки для одного из корней и/или количества чисел n, удовлетворяющих условию задачи. | ∓ | 2 |
| Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше. | −/0 | 0 |
| Максимальный балл | 10 | |
Найдите все корни уравнения 
лежащие на интервале 
Преобразуем:
Замена: 
Тогда
Замена: 
Уравнение примет вид
Имеется корень 
и левая часть может быть разложена на множители следующим образом:
(1)
Так как 
то 
Следовательно, 
При таких z многочлен пятой степени в левой части (1) принимает только отрицательные значения, так как 
и 
Поэтому 
— единственный корень уравнения (1). Далее легко найти, что 
и 
Ответ: 
Известно, что уравнение 
имеет (с учетом кратности) четыре положительных корня. Найдите a и b.
Пусть 
— корни нашего уравнения (возможно, среди них есть одинаковые). Следовательно, многочлен в левой части уравнения раскладывается на множители:
Раскрывая в правой части скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим:
Известно, что среднее геометрическое неотрицательных чисел не превосходит их среднего арифметического (неравенство Коши), но в нашем случае они равны:
Следовательно, 
и
Отсюда 
Ответ:
Даны m подмножеств n-элементного множества: A1, . . . , Am. Обозначим через |Ai| число элементов множества Ai. Рассмотрим неравенство
в котором индексы i, j, k пробегают все значения от 1 до m, то есть в сумме всего m3 слагаемых.
а) Докажите это неравенство при m = 3.
б) Докажите это неравенство при произвольном натуральном m.
Посчитаем левую часть иным образом. Для каждого элемента множества из n элементов посчитаем, в какое количество пересечений троек Ai ∩ Aj ∩ Ak он входит, и просуммируем эти количества по всем элементам. Легко видеть, что если элемент входит в ai множеств, то он входит ровно в ai3 пересечений троек множеств (в качестве первого множества тройки годятся ai множеств, в качестве второй и третьей — тоже ai). Таким образом, левая часть это n2(a13 + a23 + . . . + an3). Теперь заметим, что a1 + a2 + . . . + an = |A1| + · · · + |Am|, так как обе суммы подсчитывают двумя способами одну и ту же величину: количество пар (множество; элемент множества). Итого, надо доказать:
Последнее неравенство равносильно неравенству между средним кубическим и средним арифметическим:
Замечание. Это одна из лемм (Lemma 6) в статье: https://arxiv.org/pdf/1808.08363.pdf.
Обратите внимание! Любой положительный знак по задаче 7б автоматически дублируется в задачу 7а, кроме случая, когда по 7а написан отдельный текст, получающий более высокую оченку, чем текст за 7б. Если в вашей работе дублирование не произошло – это техническая ошибка, на которую следует подать апелляцию.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведено полное решение. | 40 |
| Арифметическая ошибка при идеальной канве решения, если оно не является чисто вычислительным. | 36 |
| Сведено к неравенству между средним кубическим и средним арифметическим. | 28 |
| в пункте а) вводятся переменные и явным образом выписываются полиномиальные неравенства, для которых предъявляется работоспособный план доказательства, который не реализован (возможно из-за арифметической ошибки). | 14 |
| Решение не соответствует критериям, описанным выше ИЛИ решение основано на неправильной формуле включения-исключения. | 0 |
| Максимальный балл | 40 |
Даны m подмножеств n-элементного множества: A1, . . . , Am. Обозначим через |Ai| число элементов множества Ai. Рассмотрим неравенство
в котором индексы i, j, k пробегают все значения от 1 до m, то есть в сумме всего m3 слагаемых.
а) Докажите это неравенство при m = 3.
б) Докажите это неравенство при произвольном натуральном m.
Посчитаем левую часть иным образом. Для каждого элемента множества из n элементов посчитаем, в какое количество пересечений троек Ai ∩ Aj ∩ Ak он входит, и просуммируем эти количества по всем элементам. Легко видеть, что если элемент входит в ai множеств, то он входит ровно в ai3 пересечений троек множеств (в качестве первого множества тройки годятся ai множеств, в качестве второй и третьей — тоже ai). Таким образом, левая часть это n2(a13 + a23 + . . . + an3). Теперь заметим, что a1 + a2 + . . . + an = |A1| + · · · + |Am|, так как обе суммы подсчитывают двумя способами одну и ту же величину: количество пар (множество; элемент множества). Итого, надо доказать:
Последнее неравенство равносильно неравенству между средним кубическим и средним арифметическим:
Замечание. Это одна из лемм (Lemma 6) в статье: https://arxiv.org/pdf/1808.08363.pdf.
Обратите внимание! Любой положительный знак по задаче 7б автоматически дублируется в задачу 7а, кроме случая, когда по 7а написан отдельный текст, получающий более высокую оченку, чем текст за 7б. Если в вашей работе дублирование не произошло – это техническая ошибка, на которую следует подать апелляцию.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведено полное решение. | 40 |
| Арифметическая ошибка при идеальной канве решения, если оно не является чисто вычислительным. | 36 |
| Сведено к неравенству между средним кубическим и средним арифметическим. | 28 |
| в пункте а) вводятся переменные и явным образом выписываются полиномиальные неравенства, для которых предъявляется работоспособный план доказательства, который не реализован (возможно из-за арифметической ошибки). | 14 |
| Решение не соответствует критериям, описанным выше ИЛИ решение основано на неправильной формуле включения-исключения. | 0 |
| Максимальный балл | 40 |
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств
имеет единственное решение.
Разложим левые части неравенств на множители:
Если a ⩾ 3, то решение первого неравенства составляют множества 
а решение второго — множество 
так что у системы будет единственное решение x = a. В случае же a < 3 множества решений обоих неравенств содержат отрезок вида [b; 3], где в качестве b можно взять, например, наибольшее из чисел a и 2.
Ответ: 
За обоснованное решение — 15 баллов, если с помощью верного рассуждения получено множество значений 
—
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств
имеет единственное решение.
Разложим левые части неравенств на множители:
Если a − 1 ⩽ − 3, то решение первого неравенства составляют множества 
а решение второго — множество 
так что у системы будет единственное решение x = a − 1. В случае же a − 1 > − 3 множества решений обоих неравенств содержат отрезок вида 
где в качестве b можно взять, например, наименьшее из чисел −1 и a − 1.
Ответ: 
Найдите сумму: 
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 623.
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Решите в целых числах уравнение: 
Разложим левую часть уравнения, например, с помощью группировки, на множители:
Откуда получим следующий вид исходного уравнения: 
Учитывая, что x и y — целые числа, а число 7 — простое число, решение уравнения сводится к решению четырех систем:
Решая эти системы уравнений, получаем четыре пары решений: 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Замечание. За каждое правильное решение, найденное подбором — 1 балл.
Решите в целых числах уравнение:
Решение этой задачи полностью совпадает с решением задачи в варианте 1 под номером 646.
Ответ:
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Замечание. За каждое правильное решение, найденное подбором — 1 балл.
Найдите сумму чисел:
Вычислим:
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите сумму чисел:
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 658.
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Пусть p, q и r нечётные простые числа. Докажите, что 
Пусть это 
Разложим его на множители. Получится
Вторая скобка всегда положительна, значит, первая равна 0, откуда 
что невозможно при нечётных числах p, q и r.
Пусть p, q и r — различные простые числа и Докажите, что наименьшее из этих трех чисел равно 2.
Разложим выражение 
на множители. Получится
Вторая скобка всегда положительна, значит, первая равна 0, откуда 
Следовательно, p, или q это 2.
Решите уравнение
Раскладывая правую часть на множители и умножая обе части на 
получаем
Отсюда есть две возможности: либо 
(тогда 
что не подходит по ОДЗ, так как подкоренное выражение отрицательно), либо
Решаем последнее уравнение:
Уравнение системы имеет корни 
и 
и из них неравенству удовлетворяют и 
Это и есть ответ к задаче.
Ответ: 
Уравнение сведено к кубическому — 1 балл.
Сокращение обеих частей уравнения на линейную функцию произведено без проверки — снять 1 балл.
Получен хотя бы один лишний корень — не более 2 баллов за задачу.
Решите неравенство
Неравенство можно переписать в виде
или 
Чтобы разложить левую часть на множители, отметим, что она представляет собой квадратный трёхчлен относительно 
с дискриминантом, равным 
Значит, корни 
равны 
то есть 
и 
а неравенство принимает вид
В последнем неравенстве требуется сравнить произведение двух чисел с нулём, поэтому при замене каждого из множителя выражением того же знака мы получим равносильное неравенство. Достаточно отметить, что для неотрицательных чисел A и B знак разности 
совпадает со знаком разности квадратов
Отсюда получаем
Ответ: 
[3 балла] При решении рассмотрением двух случаев: по 3 балла за каждый случай.
При другом способе решения: левая часть неравенства разложена множители — 3 балла.
Решите уравнение
Решение. Раскладывая правую часть на множители и умножая обе части на 
получаем
Отсюда есть две возможности: либо 
(тогда 
что не подходит по ОДЗ, так как подкоренное выражение отрицательно), либо
Решаем последнее уравнение:
Уравнение системы имеет корни 
и из них неравенству удовлетворяют 
и 
Это и есть ответ к задаче.
Ответ: 
Уравнение сведено к кубическому — 1 балл.
Сокращение обеих частей уравнения на линейную функцию произведено без проверки — снять 1 балл.
Получен хотя бы один лишний корень — не более 2 баллов за задачу.
Решите неравенство
Неравенство можно переписать в виде
или 
Чтобы разложить левую часть на множители, отметим, что она представляет собой квадратный трёхчлен относительно 
с дискриминантом, равным
Значит, корни равны 
то есть и 
а неравенство принимает вид
В последнем неравенстве требуется сравнить произведение двух чисел с нулём, поэтому при замене каждого из множителя выражением того же знака мы получим равносильное неравенство. Достаточно отметить, что для неотрицательных чисел A и B знак разности совпадает со знаком разности квадратов
Отсюда получаем
Ответ: 
[3 балла] При решении рассмотрением двух случаев: по 3 балла за каждый случай.
При другом способе решения: левая часть неравенства разложена множители — 3 балла.
Решите уравнение
Раскладывая правую часть на множители, получаем
Отсюда есть две возможности: либо 
(тогда 
что не подходит по ОДЗ, так как подкоренное выражение отрицательно), либо 
Решаем последнее уравнение:
Уравнение системы имеет корни 
и 
и из них неравенству удовлетворяют и 
Это и есть ответ к задаче.
Ответ: 
Уравнение сведено к кубическому — 1 балл.
Сокращение обеих частей уравнения на линейную функцию произведено без проверки — снять 1 балл.
Получен один лишний корень — не более 2 баллов за задачу.
Получено более одного лишнего корня — не более 1 балла за задачу.
Решите неравенство
Неравенство можно переписать в виде
или 
Чтобы разложить левую часть на множители, отметим, что она представляет собой квадратный трёхчлен относительно с дискриминантом, равным Значит, корни 
равны то есть и а неравенство принимает вид
В последнем неравенстве требуется сравнить произведение двух чисел с нулём, поэтому при замене каждого из множителя выражением того же знака мы получим равносильное неравенство. Достаточно отметить, что для неотрицательных чисел A и B знак разности совпадает со знаком разности квадратов
Отсюда получаем
Ответ: 
При решении рассмотрением двух случаев — по 3 балла за каждый случай.
При другом способе решения: левая часть неравенства разложена на множители — 3 балла.
Наверх