Всего: 9 1–9
Добавить в вариант
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Найдите все b, при которых система неравенств
имеет единственное решение.
а) Преобразуем исходное выражение при условии 
(иначе оно не определено) и рационализируем его
Вернемся к неравенству
Множитель 
положителен при и на знак не влияет. Корнями остальных множителей будут 
и 
причем
а 
и 
меньше двойки и нас не интересуют. С помощью метода интервалов получим ответ на 
Ответ: 
б) Домножим уравнение на 
отметив сразу, что точки 
не являются корнями исходного уравнения, поскольку для них 
и 
но 
Решим
Осталось выкинуть точки вида поскольку они появились в ответе от умножения на 
Они получаются, если k делится на 3 но не на 6. Окончательно 
и 
Ответ: 
в) Найдите все b, при которых система неравенств 
имеет единственное решение.
Очевидно, что если пара чисел 
подходит в систему, то и пара чисел 
подходит в систему, поэтому единственным решение может быть только если 
Далее, из пар вида 
должна подходить ровно одна (больше одной нельзя по условию, а если не подходит ни одна, то единственного решения не будет), то есть 
Перепишем его в виде 
Тогда трехчлен 
должен иметь единственный корень (если корней два, то на роль x подойдет любое число между корнями, а если корней нет вовсе, то у неравенства не будет решений). Тогда его дискриминант 
откуда 
Осталось убедиться, что система неравенств
имеет только решение 
Сложив неравенства, получим 
Ответ:
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Решите неравенство
Так ОДЗ неравенства задаётся условиями 
и 
(тогда подлогарифмическое выражение также положительно), откуда
и 
На ОДЗ данное неравенство равносильно каждому из следующих неравенств:
С учётом ОДЗ получаем
Ответ: 
За каждый верно рассмотренный случай («основание > 1», «основание < 1») — 3 балл.
Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за все последующие действия.
В ответ включено значение x, при котором основание логарифма равно 1 — снять 1 балл.
В ответ включено значение x, при котором основание логарифма равно 0 — снять 1 балл.
В ответ включены значения x, при которых основание логарифма отрицательно — не более 3 баллов за задачу.
Решите неравенство
Так ОДЗ неравенства задаётся условиями 
и 
(тогда подлогарифмическое выражение также положительно), откуда 
и 
На ОДЗ данное неравенство равносильно каждому из следующих неравенств:
С учётом ОДЗ получаем 
Ответ: 
За каждый верно рассмотренный случай («основание > 1», «основание < 1») — 3 балл.
Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за все последующие действия.
В ответ включено значение x, при котором основание логарифма равно 1 — снять 1 балл.
В ответ включено значение x, при котором основание логарифма равно 0 — снять 1 балл.
В ответ включены значения x, при которых основание логарифма отрицательно — не более 3 баллов за задачу.
Решите неравенство 
Воспользуемся формулой разности квадратов:
Учтём ОДЗ: 
Тогда:
Ответ: 
Решите неравенство 
Преобразуем:
Запишем ОДЗ: 
Перейдём к решению неравенств:
Ответ: 
Решите неравенство
Сделаем замену переменного 
получаем
Найдем ОД3: 
и
Поскольку неравенство строгое, то при 
и 
неравенство равносильно следующему
или
или
или 
Таким образом, 
или 
Производя обратную замену, получаем:
Ответ: 
Решите неравенство
Сделаем замену переменного 
получаем
Найдем ОД3: 
и
Поскольку неравенство строгое, то при 
и 
неравенство равносильно следующему
или
или
или 
Таким образом, 
или 
Производя обратную замену, получаем:
Ответ: 
Решите неравенство
Запишем ОД3: 
следовательно, 
Имеем
На ОДЗ исходное неравенство эквивалентно следующему
Ответ: 
Решите неравенство
Запишем ОДЗ: 
следовательно,
Имеем
На ОДЗ исходное неравенство эквивалентно следующему
Ответ: 
Наверх