Всего: 91 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Решить уравнение: 
Сначала найдём область определения уравнения, это 
из внутреннего радикала. Условие 
при этом тоже выполнено, так как обе части его неотрицательны и после возведения в квадрат оно равносильно неравенству 
Обе части исходного уравнения тоже не отрицательны, поэтому при возведении в квадрат получим равносильное уравнение
то есть 
что эквивалентно 
Пересекая с областью определения, получаем ответ 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
При нахождении области определения уравнения не проверяется условие  | 6 |
| Нет ссылки на неотрицательность частей уравнения при возведении в квадрат. | 6 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Найдите все b, при которых система неравенств
имеет единственное решение.
а) Преобразуем исходное выражение при условии 
(иначе оно не определено) и рационализируем его
Вернемся к неравенству
Множитель 
положителен при и на знак не влияет. Корнями остальных множителей будут 
и 
причем
а 
и 
меньше двойки и нас не интересуют. С помощью метода интервалов получим ответ на 
Ответ: 
б) Домножим уравнение на 
отметив сразу, что точки 
не являются корнями исходного уравнения, поскольку для них 
и 
но 
Решим
Осталось выкинуть точки вида поскольку они появились в ответе от умножения на 
Они получаются, если k делится на 3 но не на 6. Окончательно 
и 
Ответ: 
в) Найдите все b, при которых система неравенств 
имеет единственное решение.
Очевидно, что если пара чисел 
подходит в систему, то и пара чисел 
подходит в систему, поэтому единственным решение может быть только если 
Далее, из пар вида 
должна подходить ровно одна (больше одной нельзя по условию, а если не подходит ни одна, то единственного решения не будет), то есть 
Перепишем его в виде 
Тогда трехчлен 
должен иметь единственный корень (если корней два, то на роль x подойдет любое число между корнями, а если корней нет вовсе, то у неравенства не будет решений). Тогда его дискриминант 
откуда 
Осталось убедиться, что система неравенств
имеет только решение 
Сложив неравенства, получим 
Ответ:
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Внутри угла величиной 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 от нее расположена точка M. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из точки M на стороны этого угла.
г) Сколько сторон имеет сечение куба 
плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
а) После стандартных преобразований получим неравенство
Ответ: 
б) При 
получаем уравнение 
т. е. 
При 
имеем 
т. е. 
Вообще, 
есть решение только при 
Поэтому в дальнейшем будем считать, что 
После 
откуда 
Случай уже исследован, так что 
Из условий 
получаем, что 
Таким образом, 
при 
Ответ: 
при 
при 
при 
при
в) Имеем: 
так что 
Ответ: 
г) Если расположить начало системы координат в вершине C куба, а ее оси направить по его ребрам, то из условий на точки K, L, M следует, что их координаты равны 
Для определения коэффициентов уравнения 
плоскости 
получаем систему
откуда 
и 
Найдем координаты точки P пересечения прямой 
и плоскости KLM: 
так 
Ответ: Пять сторон.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при при при при Пять сторон.а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) На сторонах угла величиной 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 друг от друга лежат точки K и L. Пусть M — точка пересечения восстановленных в точках K и L перпендикуляров к соответствующим сторонам угла. Найдите расстояние от M до A.
г) Сколько сторон имеет сечение куба плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
а) Решите неравенство
Ясно что 
и 
не подходят в неравенство. При прочих x можно домножить неравенство на 
и получить
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
У второго множителя левой части есть корень 
поэтому он раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
Дискриминант последнего множителя равен 
поэтому он всегда положителен. Сократив его, получим 
откуда 
или 
Окончательно, учитывая условия 
и 
получаем 
Ответ: 
б) Решите уравнение
Обозначим 
Тогда 
и уравнение примет вид
Если 
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, получим
При подходит любое 
При прочих a можно сократить на 
получим
заметим корень с другим знаком все равно не подходит. Очевидно 
поэтому такой корень подходит.
Если 
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, отсюда
Можно сократить на 
тогда 
При 
это невозможно (правая часть неположительная, а левая положительна). При 
получим
заметим корень с другим знаком все равно не подходит. Очевидно 
при условии 
то есть 
Итак, такой корень подходит при 
при прочих отрицательных a нет корней.
Наконец при уравнение сводится к 
то есть
Теперь можно записать ответ, дорешав уравнения 
в случаях 
Во всех случаях 
при нет корней; при 
и 
при 
при 
нет корней; при 
при 
и 
при 
Ответ: 
при 
при 
при 
при 
в) На сторонах угла величиной с вершиной в точке A на расстоянии 4 друг от друга лежат точки K и L. Пусть M — точка пересечения восстановленных в точках K и L перпендикуляров к соответствующим сторонам угла. Найдите расстояние от M до A.
Обозначим 
тогда
Тогда по теореме синусов для треугольника KAL получаем 
откуда 
Аналогично по теореме синусов для треугольника MKL получаем 
Тогда по теореме Пифагора получаем
Ответ: 
г) Сколько сторон имеет сечение куба плоскостью, проходящей через точки и которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях и (считая от вершины, указанной первой)?
Обозначим ребро куба за 
тогда 
и 
Отметим кроме того точку 
для которой 
Тогда 
и 
- параллелограмм (его стороны 
и AK равны и параллельны), поэтому 
и 
Далее, 
и 
поэтому 
—
и 
Из этого получаем, что 
и 
поэтому точки K, L, M, D лежат в одной плоскости (и образуют там вершины параллелограмма). Этот параллелограмм и будет сечением куба, поэтому сечение имеет 4 стороны.
(не сошлось с ответом!)
Ответ: Пять сторон.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при при при при Пять сторон.При каких значениях параметра a среди решений неравенства 
найдутся два решения, разность между которыми равна 4?
Заметим, что подкоренное выражение можно преобразовать так:
Так ОДЗ неравенства определяется условием 
При 
это условие принимает вид 
т. е. его решением является единственное число 
а при 
оно задаёт отрезок между точками a и 1 на числовой прямой. Очевидно, что первый вариант не удовлетворяет условию задачи ввиду того, что неравенство имеет не более одного решения. Можно также отметить, что для того, чтобы нашлись 2 решения на расстоянии 4 друг от друга, ОДЗ должно быть отрезком длины не меньше 4, откуда 
или 
Исходное неравенство равносильно следующему:
Будем решать это неравенство методом интервалов, а для расстановки на числовой прямой точек, в которых множители в левой части неравенства обращаются в ноль, рассмотрим два случая.
1) При 
Тогда ОДЗ — это 
любое значение x из этого промежутка является решением неравенства, так как первый множитель в (*) положителен, а второй — неотрицателен. Следовательно, все значения параметра 
подходят (например, решениями неравенства являются числа и 
2) При 
Тогда ОДЗ — это 
Метод интервалов даёт 
В этом множестве присутствуют точки на расстоянии 4 друг от друга при 
(это точки 
и 
В итоге получаем 
Ответ: 
Квадратный трёхчлен под корнем разложен на множители — 1 балл.
Построено множество решений данного неравенства на плоскости «переменная-параметр» — 1 балл.
При решении неравенства не учитывается ОДЗ — не более 1 балла за задачу (который может быть поставлен за разложение на множители подкоренного выражения).
Ответ отличается от верного конечным числом точек — снять 1 балл за одну лишнюю/недостающую точку; снять 2 балла за более чем одну лишнюю/недостающую точку).
При каких значениях параметра a среди решений неравенства 
найдутся два решения, разность между которыми равна 6?
Заметим, что подкоренное выражение можно преобразовать так:
Так ОДЗ неравенства определяется условием 
При это условие принимает вид 
т. е. его решением является единственное число 
а при 
оно задаёт отрезок между точками a и 2 на числовой прямой. Очевидно, что первый вариант не удовлетворяет условию задачи ввиду того, что неравенство имеет не более одного решения. Можно также отметить, что для того, чтобы нашлись 2 решения на расстоянии 6 друг от друга, ОДЗ должно быть отрезком длины не меньше 6, откуда 
или 
Исходное неравенство равносильно следующему:
Будем решать это неравенство методом интервалов, а для расстановки на числовой прямой точек, в которых множители в левой части неравенства обращаются в ноль, рассмотрим два случая.
1) При 
Тогда ОДЗ — это 
любое значение x из этого промежутка является решением неравенства, так как первый множитель в (*) отрицателен, а второй — неотрицателен. Следовательно, все значения параметра 
подходят (например, решениями неравенства являются числа 
и 
2) При 
Тогда ОДЗ — это 
Метод интервалов даёт 
В этом множестве присутствуют точки на расстоянии 6 друг от друга при 
(это точки и 
В итоге получаем 
Ответ: 
Квадратный трёхчлен под корнем разложен на множители — 1 балл.
Построено множество решений данного неравенства на плоскости «переменная-параметр» — 1 балл.
При решении неравенства не учитывается ОДЗ — не более 1 балла за задачу (который может быть поставлен за разложение на множители подкоренного выражения).
Ответ отличается от верного конечным числом точек — снять 1 балл за одну лишнюю/недостающую точку; снять 2 балла за более чем одну лишнюю/недостающую точку).
Решите неравенство 
Данное неравенство равносильно следующей совокупности:
Ответ: 
Неравенство 
сведено к совокупности неравенств без модуля 
— 3 балла.
Решено неравенство со свободным членом, равным 0 — 1 балл.
Решено неравенство со свободным членом, отличным от нуля — 2 балла.
Если решение неравенства происходит по схеме
и при этом условия 
и 
не учтены, то не более 2 баллов за задачу.
Решите неравенство 
Данное неравенство равносильно следующей совокупности:
Ответ: 
Неравенство сведено к совокупности неравенств без модуля — 3 балла.
Решено неравенство со свободным членом, равным 0 — 1 балл.
Решено неравенство со свободным членом, отличным от нуля — 2 балла.
Если решение неравенства происходит по схеме
и при этом условия и не учтены, то не более 2 баллов за задачу.
Решите неравенство 
Логарифмируя обе части неравенства по основанию 2, получаем:
Решая последнее неравенство методом интервалов, находим, что
Ответ: 
Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за все последующие действия.
Неравенство сведено к дробно-рациональному — 2 балла.
Неравенство преобразовано к виду 
где P(x), Q(x), R(x) — линейные функции переменной (или к виду 
где R(x) — линейная функция, G(x) — квадратичная функция и при этом найдены нули G(x)) — 2 балла.
Границы промежутков указаны в ответе в неупрощённой форме — снять 1 балл.
Точки расположены на числовой прямой в неправильном порядке — снять 1 балл.
Угадано целое значение x, при котором неравенство обращается в равенство — баллы не добавляются.
Решите неравенство 
Логарифмируя обе части неравенства по основанию 3, получаем:
Решая последнее неравенство методом интервалов, находим, что
Ответ: 
Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за все последующие действия.
Неравенство сведено к дробно-рациональному — 2 балла.
Неравенство преобразовано к виду где P(x), Q(x), R(x) — линейные функции переменной (или к виду где R(x) — линейная функция, G(x) — квадратичная функция и при этом найдены нули G(x)) — 2 балла.
Границы промежутков указаны в ответе в неупрощённой форме — снять 1 балл.
Точки расположены на числовой прямой в неправильном порядке — снять 1 балл.
Угадано целое значение x, при котором неравенство обращается в равенство — баллы не добавляются.
Решите неравенство
Основание степени положительно при всех x, поэтому данное неравенство равносильно следующему:
откуда с помощью метода интервалов находим, что
Ответ: 
Не указано, что основание степени положительно — баллы не снимать.
Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за все последующие действия.
За рассмотрение каждого из случаев (основание степени > 1, основание степени < 1, основание степени равно 1) — 2 балла.
При ином способе решения:
а) неравенство сведено к алгебраическому — 2 балла;
б) получено разложение на множители — 1 балл;
в) при решении методом интервалов потеряна изолированная точка — снять 2 балла.
Решите неравенство
Основание степени положительно при всех x, поэтому данное неравенство равносильно следующему:
откуда с помощью метода интервалов находим, что
Ответ: 
Не указано, что основание степени положительно — баллы не снимать.
Неэквивалентное преобразование неравенства — 0 баллов за все последующие действия.
За рассмотрение каждого из случаев (основание степени > 1, основание степени < 1, основание степени равно 1) — 2 балла.
При ином способе решения:
а) неравенство сведено к алгебраическому — 2 балла;
б) получено разложение на множители — 1 балл;
в) при решении методом интервалов потеряна изолированная точка — снять 2 балла.
Определите все значения a, при которых уравнение 
имеет два различных корня. Укажите эти корни при каждом из найденных значений a.
I. При 
получаем 
1. Уравнение (*) имеет два различных неотрицательных корня, если:
2. У равнение (*) имеет один неотрицательный корень, если:
II. При 
получаем
Сравнивая с I, 2, замечаем, что при 
также будет два различных решения системы.
Ответ: при 
при 
и 
при и Решите неравенство 
Находим:
Ответ: 
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решить неравенство 
Преобразуем исходное выражение:
Ответ: 
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решить неравенство 
Преобразуем исходное выражение:
Ответ: 
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решить неравенство 
Преобразуем исходное выражение:
Из полученного неравенства запишем ответ.
Ответ: 
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решить неравенство 
Преобразуем исходное выражение:
Из полученного неравенства запишем ответ.
Ответ: 
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решить неравенство 
Преобразуем исходное выражение:
Из полученного неравенства запишем ответ.
Ответ: 
Максимальный балл за задачу ставится в том случае, если задача решена полностью, без недочетов.
Незначительное снижение баллов может быть, если задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения.
Значительное снижение баллов может быть, если задача не решена (допущены серьезные ошибки) и т. д.
Решить неравенство 
Запишем ОДЗ
и 
Тогда
Ответ: (2; 3).
Наверх