Всего: 16 1–16
Добавить в вариант
Известно, что уравнение 
имеет (с учетом кратности) четыре положительных корня. Найдите a и b.
Пусть 
— корни нашего уравнения (возможно, среди них есть одинаковые). Следовательно, многочлен в левой части уравнения раскладывается на множители:
Раскрывая в правой части скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим:
Известно, что среднее геометрическое неотрицательных чисел не превосходит их среднего арифметического (неравенство Коши), но в нашем случае они равны:
Следовательно, 
и
Отсюда 
Ответ:
а) Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение 
б) Пусть 
(
). Докажите неравенство
в) Пусть A, B, C — величины углов некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что если
то этот треугольник — равнобедренный.
г) Пусть 
Решите уравнение 
а) Преобразовав данное уравнение к виду 
и построив график функции 
получим ответ.
Ответ: один корень, если 
два, если 
и три корня, если 
б) Исследовав функцию 
нетрудно показать, что она неотрицательна при всех x, значит, 
Осталось перемножить неравенства 
(обе части которых по предположению неотрицательны).
в) Положим для удобства 
и 
Таким образом, 
и 
откуда
Если, к примеру,
то 
г) Так как 
то функция f монотонна на каждом из отрезков 
значит, на каждом из них она имеет не более одного корня. То, что
достаточно ясно.
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
два, если и три корня, если а) Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение
б) Пусть 
(
). Докажите неравенство
в) Пусть A, B, C — величины углов некоторого треугольника. Докажите, что если
то этот треугольник — равнобедренный.
г) Пусть 
Найдите все 
при которых функция g периодична.
а) Один корень, если 
или 
два, если 
и три корня, если 
б) Исследуйте функцию 
в) Преобразуйте данное тождество к виду
г) Все нечетные n.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
При проектировании электростанции возникла необходимость решить уравнение
где p — целочисленный параметр, задаваемый разработчиком. Для быстрого и надежного решения требуется, чтобы корни уравнения были рациональными числами. При каких p это верно?
Задача сводится к нахождению корней многочлена
Для дискриминанта квадратного трехчлен а необходимо, чтобы
Если 
или 
то существуют рациональные корни 0 и −1 соответственно. Если же 
или 
то корни есть
Покажем, что число 
иррационально. Допустив противное, представим его как несократимую дробь 
Ответ: 
Найдите все значения параметра a, для которых уравнение 
имеет три корня.
Сразу исключим значение 
так как в этом случае единственный корень 
Поскольку 
при всех x, уравнение можно записать в виде
Корень 
есть при любых a. Для 
сократим уравнение на 
Получим уравнение 
где 
означает знак числа (в данном случае он равен +1 или −1, соответственно, при 
или 
Нам нужно найти значения a, при которых это уравнение имеет два корня, отличные от −1. При 
правая часть последнего уравнения положительна лишь при 
но в силу того, что вершина параболы 
имеет абсциссу 
квадратное уравнение не может иметь больше одного корня в области 
Значит, требуется найти положительные a, для которых уравнение 
имеет два корня, большие −1.
Итак, требуется решить неравенство
(с учетом положительности дискриминанта, то есть подкоренного выражения, а также параметра a). Тогда 
и, значит,
Ответ: 
Комментарий.
Задача допускает и другие (графические) решения.
| Символы-Баллы | Правильность (ошибочность) решения |
|---|---|
| +20 | Полное верное решение |
| +.16 | Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение |
| ±12 | Решение в целом верное, но содержит ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений |
| +/2 10 | Верно рассмотрен один (более сложный) из существенных случаев, верно получена основная оценка |
| ∓8 | Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи |
| −.4 | Рассмотрены только отдельные важные случаи или имеются начальные продвижения |
| −0 | Решение неверное, продвижения отсутствуют |
| 0 | Решение отсутствует (участник не приступал) |
Если в задаче два пункта, то только за один решенный пункт максимальная оценка 10 баллов, а другие (промежуточные) оценки соответствуют половинкам баллов приведенной таблицы. Рекомендуется сначала оценивать задачу в символах («плюс-минусах»); при необходимости оценку в символах можно дополнить значком–стрелкой вверх или вниз, что скорректирует соответствующую оценку на один балл. Например, символ ±↑ будет соответствовать 13 баллам.
При каких значениях параметра a уравнение 
имеет единственное решение?
Заметим, что 
не является решением исходного уравнения. Поэтому оно равносильно уравнению
Обозначим правую часть через f(x).
Заметим, что 
при 
и 
при 
Также f(x) имеет вертикальную асимптоту 
Производная функции f(x) равна
Значит, функция f(x):
а) на промежутке 
убывает от 
до 
б) на промежутке [−4; 0) — возрастает от 
до 
в) на промежутке (0; 1] — убывает от до 
г) на промежутке [1; 3] — возрастает от −8 до 
д) на промежутке 
—
до 
Таким образом, каждое значение из промежутка 
функция f(x) принимает ровно один раз; −8 — два раза; из промежутка 
— —
—
—
—
Следовательно, уравнение (*), а с ним и исходное уравнение, имеет единственное решение при 
Ответ: 
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
При каких значениях параметра a уравнение 
имеет не более двух решений?
Заметим, что не является решением исходного уравнения. Поэтому оно равносильно уравнению
Обозначим правую часть через f(x).
Заметим, что 
при и при Также f(x) имеет вертикальную асимптоту Производная функции f(x) равна
Значит, функция f(x) на промежутке 
возрастает от 
до 
на промежутке [–2; 0) — продолжает возрастать от 12 до 
на промежутке (0; 1] — возрастает от до 
наконец, на промежутке 
—
Таким образом, каждое значение из промежутка 
функция f(x) принимает ровно три раз; −15 — два раза; из промежутка 
один раз. Например, значение −15 функция примет один раз в точке 1, а второй раз — на промежутке 
Следовательно, уравнение 
а с ним и исходное уравнение, имеет не более двух решений при 
Ответ: 
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно три решения?
Заметим, что не является решением исходного уравнения. Поэтому оно равносильно уравнению
Обозначим правую часть через 
Заметим, что при и при Также 
имеет вертикальную асимптоту Производная функции равна
Значит, функция на промежутке 
возрастает от до на промежутке 
— продолжает возрастать от 12 до на промежутке 
— возрастает от до наконец, на промежутке 
— убывает от −15 до
Таким образом, каждое значение из промежутка 
функция принимает ровно три раз; −15 — два раза; из промежутка 
— один раз. (Например, значение −15 функция примет один раз в точке 1, а второй раз — на промежутке 
Следовательно, уравнение 
а с ним и исходное уравнение, имеет ровно три решения при 
Ответ: 
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
«+» — задача решена полностью;
«±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
«∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
При каких значениях параметра a уравнение имеет более одного решения?
Заметим, что не является решением исходного уравнения. Поэтому оно равносильно уравнению
Обозначим правую часть через
Заметим, что 
при и при Также имеет вертикальную асимптоту Производная функции равна
Значит, функция на промежутке 
убывает от до 
на промежутке 
— возрастает от 
до на промежутке — убывает от до 
на промежутке 
— возрастает от −8 до 
наконец, на промежутке 
— убывает от 
до
Таким образом, каждое значение из промежутка 
функция принимает ровно один раз; −8 — два раза; из промежутка 
— три раза; 
— два раза; из промежутка 
— один раз; — два раза; из промежутка 
— три раза. (Например, значение −8 функция примет один раз в точке 1, а второй раз — на промежутке 
Следовательно, уравнение а с ним и исходное уравнение, имеет более одного решения при
Ответ: 
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
«+» — задача решена полностью;
«±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
«∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Найти максимальную длину горизонтального отрезка с концами на графике функции 
Горизонтальный отрезок длины 
с концами на графике функции 
существует тогда и только тогда, когда уравнение 
имеет при данном значении параметра а хотя бы одно решение. Раскрывая скобки, приводя подобные и сокращая на 
получим квадратное уравнение 
которое разрешимо при 
откуда 
Следовательно, длина искомого отрезка не превосходит 2. При 
решением уравнения является 
откуда следует, что длина 2 достигается для отрезка с концами (−1, 0) и (1, 0) на графике функции 
Ответ: 2.
Приведем еще одно решение.
Как в решении выше, получаем уравнение которое рассмотрим, как квадратное относительно a с параметром x: 
Находим его корни
ввиду положительности a рассматриваем только тот, что с плюсом:
Данная функция от x определена при 
и положительна при 
Её производная, равная.
обращается в ноль при слева больше ноля, а справа — меньше. Следовательно, её значение максимально при и равно 
Действительно, в данном случае отрезок длины 2 соединяет на оси OX два корня 
и 
уравнения 
Приведён ответ 2 и пример отрезка такой длины: 1 балл. Отсутствие явного примера в решении: минус 2 балла.
При каких значениях параметра a корни уравнения 
составляют геометрическую прогрессию.
Имеем:
Раскрываем скобки и сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:
следовательно,
Из 1 и 2 уравнений 
но
Ответ: −14.
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Задача решена полностью с необходимыми пояснениями | 10 |
Решение  | 4 |
| Без объяснений | 3 |
Вывели  | 0 |
| Максимальный балл | 10 |
Найдите a, такое, что сумма квадратов действительных корней уравнения 
Сделаем замену 
Уравнение 
имеет два корня, произведение которых равно −2017 по т. Виета. Следовательно, один из них отрицательный. Пусть 
Тогда корни исходного уравнения равны 
Сумма их квадратов равна 2t1, значит, 
Подставляя в уравнение 
получаем 
откуда a 
Ответ: 1006,5.
Найдите наименьшее натуральное число q, для которого существует такое целое число p, что уравнение 
имеет четыре корня, образующие арифметическую прогрессию.
В силу того, что уравнение биквадратное, то его корни, образующие арифметическую прогрессию, имеют вид −3a, −a, a, 3a. То есть уравнение имеет вид
где 
и 
Так как 
то q — полный квадрат, делящийся на 9.
Ответ: 
Для каждого a, при которых уравнение 
имеет три различных действительных корня, обозначим через 
эти корни, упорядоченные по убыванию 
Выясните, при каком из этих a выражение 
принимает наибольшее возможное значение. Ответ при необходимости округлите до двух знаков после запятой. Если таких a найдется несколько, то в ответе укажите их сумму.
Найдём при каких а будет ровно три различных решения. Для этого рассмотрим выражение 
Три решения 
будут тогда и только тогда когда прямая 
будет иметь три точки пересечения с графиком функции 
Найдём производную
начиная со знака плюс на 
то локальный минимум
а локальный максимум
Следовательно при всех 
и только при них уравнение 
будет иметь три различных решения. Введём обозначения
Из теоремы Виета, известно:
Легко проверить справедливость равенств:
Откуда 
и 
Следовательно, переменные u и v — решения квадратного уравнения:
Учитывая, что
найдем максимальное значение, которое может принимать u:
Найдём максимальное значение последнего выражения для 
для этого вычислим производную и приравняем к нулю:
Последнее уравнение равносильно следующему: 
при условии, что 
Откуда
Из вида a* вытекает, что 
а из вида производной следует, что 
Ответ: −3,14.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 
имеет единственное решение.
Заметим, что не является корнем уравнения ни при каком a. Преобразуем уравнение, разделив его на x3:
Значит, если x0 — корень уравнения, 
—
В первом случае получаем 
откуда 
или 
а во втором имеем 
откуда 
или 
Подставляя значения 
в уравнение
где 
убеждаемся, что при каждом из них оно имеет единственное решение 
или 
а исходное — соответственно единственное решение 
или В случае уравнение 
имеем два решения 
и 
Корень даёт решение а корень 
не дает решений по x
Ответ: 
Найдите все натуральные a, при которых неравенство
имеет ровно а) 2016 целых решений; б) 2017 целых решений.
Запишем ОДЗ:
Многочлен 6 степени, следовательно, 6 корней. Если 
—
1) Если 
то
То есть при
имеем три решения 
2) Если 
то
решение 
решение
Всего целых решений 
a) 
б) 
Ответ: а) 1009; б) нет таких a.
Наверх