Всего: 3 1–3
Добавить в вариант
Найдите все значения параметра a, при которых система
а) имеет ровно 3 решения;
б) имеет ровно 2 решения.
Первое уравнение системы не меняется при замене x на x — и/или y на −y. Следовательно, множество точек, задаваемых первым уравнением симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти получаем часть прямой 
—
Второе уравнение системы может быть записано в виде 
Оно задаёт окружность с центром 
При 
решений нет, так что рассмотрим случай окружности.
а) И ромб, и окружность симметричны относительно оси абсцисс, следовательно, 3 решения возможны только в том случае, когда одна из общих точек окружности и ромба лежит на оси абсцисс. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку QA или отрезку QC, т. е. 
или 
Несложно видеть, что при система имеет 3 решения, а при 
решений. Значит, 3 решения возможны только при 
б) Пусть 
—
— радиус той окружности, которая касается сторон AB и AD ромба. Система имеет ровно два решения в том и только том случае, когда
Тогда 
отсюда 
Пусть окружность радиуса касается стороны AB в точке J, а окружность радиуса 
касается стороны BC в точке L. Треугольник CLQ — прямоугольный, 
равен угловому коэффициенту прямой BC, то есть 
Тогда
По теореме Пифагора для треугольника CLQ получаем
откуда 
Поскольку треугольники JQA и LQC подобны и коэффициент подобия равен 
то
Окончательно получаем
Ответ: а)
б) 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы 1 балл.
Показано, что второе уравнение системы задаёт окружность переменного радиуса (или точку) 1 6алл.
Решён пункт а) — 2 балла.
Если указано, что нечётное число решений может быть только когда окружность проходит через вершину ромба, принадлежащую его меньшей диагонали, и при этом получен неверный ответ (лишние решения), то 1 балл вместо 2.
Решён пункт б) — 3 балла.
Отсутствует проверка того, что если окружность проходит через ближайшую вершину ромба, то она не имеет общих точек с двумя дальними сторонами ромба и пр. — баллы не снимать.
Если радиус окружности равен a вместо |a|, то снять 1 балл при условии, что полностью решён хотя бы один из пунктов а)
б) Найдите все значения параметра a, при которых система
а) имеет ровно 3 решения;
б) имеет ровно 2 решения.
Первое уравнение системы не меняется при замене x на −x и/или y на −y. Следовательно, множество точек, задаваемых первым уравнением симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти получаем часть прямой —
Второе уравнение системы может быть записано в виде 
Оно задаёт окружность с центром 
При решений нет, так что рассмотрим случай окружности.
a) И ромб, и окружность симметричны относительно оси ординат, следовательно, 3 решения возможны только в том случае, когда одна из общих точек окружности и ромба лежит на оси ординат. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку QA или отрезку QC, то есть 
или 
Несложно видеть, что при система имеет 3 решения, а при 
решений. Значит, 3 решения возможны только при 
б) Пусть — —
Тогда 
отсюда 
Пусть окружность радиуса касается стороны AB в точке J, а окружность радиуса касается стороны BC в точке L. Треугольник JAQ — прямоугольный,
поэтому
так как он равен угловому коэффициенту прямой AB. Тогда
По теореме Пифагора для треугольника JQA получаем
откуда 
Поскольку треугольники JQA и LQC подобны и коэффициент подобия равен 
то
Окончательно получаем
Ответ: а)
б) 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы 1 балл.
Показано, что второе уравнение системы задаёт окружность переменного радиуса (или точку) 1 6алл.
Решён пункт а) — 2 балла.
Если указано, что нечётное число решений может быть только когда окружность проходит через вершину ромба, принадлежащую его меньшей диагонали, и при этом получен неверный ответ (лишние решения), то 1 балл вместо 2.
Решён пункт б) — 3 балла.
Отсутствует проверка того, что если окружность проходит через ближайшую вершину ромба, то она не имеет общих точек с двумя дальними сторонами ромба и пр. — баллы не снимать.
Если радиус окружности равен a вместо |a|, то снять 1 балл при условии, что полностью решён хотя бы один из пунктов а)
б) 
На координатной плоскости рассматриваются параболы вида 
относительно которых известно, что 
при 
Найдите наибольшее возможное значение параметра a.
Так как 
то график симметричен относительно прямой 
Тогда
Учитывая, что 
приходим к выводу, что наибольшее возможное значение параметра 
достигается при
Ответ: 
Наверх