Всего: 111 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
При каких значениях параметра a система уравнений
имеет единственное решение?
Первое уравнение системы задает ГМТ точек 
на плоскости сумма расстояний от которых до точек A(6,13) и B(18,4) равна 15. Заметим, что
Поэтому согласно неравенству треугольника, ГМТ таких точек суть точки отрезка 
Второе уравнение есть уравнение окружности с центром в точке 
радиуса 
Единственность решения системы возможна в том и только в том случае, когда окружность
пересекает отрезок AB ровно в одной точке.
Очевидно, что гарантированно единственная точка пересечения будет в случае касания окружности отрезком. Это произойдет тогда, когда расстояние от точки до прямой, содержащей отрезок AB, будет равно радиусу окружности, и точка касания будет попадать в отрезок Уравнение прямой, содержащей AB, как нетрудно установить, имеет вид 
Согласно формуле расстояния от точки до прямой (один из вариантов решения):
Отсюда получим два возможных значения параметра 
Центр окружности лежит на прямой 
Точка M 
пересечения прямых 
и 
лежит на отрезке Угол OMB острый, поэтому точка касания прямой и окружности, центр которой лежит под отрезком AB, заведомо на отрезок AB попадет.
Это происходит при 
Если же центр S окружности лежит выше отрезка AB (это происходит при 
то требуются дополнительные рассуждения. Точка касания H есть проекция точки 
на прямую, содержащую отрезок H попадет в отрезок AM, если 
Имеем:
Следовательно, 
и точка касания H лежит на отрезке
В то же время, поскольку 
постольку единственность решения возможна, когда
окружность пересекает отрезок AB, но при этом точка A попадает во внутрь круга. Так будет происходить с момента пересечения окружности и отрезка в точке A до момента повторного пересечения в той же точке A (не включая данные моменты).
Найдем такие положения точки 
при которых расстояние от нее до точки A равно
Имеем:
Отсюда
Значит, при 
точка пересечения будет единственна, как и решение системы уравнений.
Ответ: 
Найдите наименьшее значение параметра a, при котором система уравнений
имеет единственное решение.
Первое уравнение системы задает ГМТ точек 
на плоскости, сумма расстояний от которых до точек 
и 
равна 15. Заметим, что
Поэтому согласно неравенству треугольника, ГМТ таких точек суть точки отрезка
Второе уравнение есть уравнение окружности с центром в точке 
радиуса
Единственность решения системы возможна в том и только в том случае, когда окружность пересекает отрезок 
ровно в одной точке. Очевидно, что гарантированно единственная точка пересечения будет в случае касания окружности отрезком. Это произойдет тогда, когда расстояние от точки до прямой, содержащей отрезок AB, будет равно радиусу окружности, и точка касания будет попадать в отрезок Уравнение прямой, содержащей AB, как нетрудно установить, имеет вид
Согласно формуле расстояния от точки до прямой (один из вариантов решения):
Отсюда получим два возможных значения параметра
Центр окружности лежит на прямой Точка 
пересечения прямых и лежит на отрезке Угол OMB острый, поэтому точка касания прямой и окружности, центр которой лежит под отрезком AB, заведомо на отрезок AB попадет. Это происходит при Если же цент S окружности лежит выше отрезка AB (это происходит при то требуются дополнительные рассуждения. Точка касания H есть проекция точки 
на прямую, содержащую отрезок H попадет в отрезок AM, если 
Имеем:
Следовательно 
и точка касания H лежит на отрезке
В то же время, поскольку постольку единственность решения возможна, когда окружность пересекает отрезок AB, но при этом точка A попадает во внутрь круга. Так будет происходить с момента пересечения окружности и отрезка в точке A до момента повторного пересечения в той же точке A (не включая данные моменты).
Найдем такие положения точки 
при которых расстояние от нее до точки A равно
Имеем:
Отсюда
Значит, при 
точка пересечения будет единственна, как и решение системы уравнений.
Ответ: 
Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет ровно два решения.
Рассмотрим первое уравнение системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые 
на 4 части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Чтобы их определить, можно выбрать в каждой из четырёх частей по точке и найти знаки выражений в этих точках. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка 
Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке оба выражения 
и 
отрицательны. Таким образом, Уравнение принимает вид
С учётом рассматриваемых ограничений подходит отрезок с концами в точках 
и 
Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата K с вершинами в точках 
и Эта фигура не имеет пересечения с полуплоскостью 
поэтому можно считать, что 
С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде
(опустив модуль у переменной y). Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через 
Если 
у уравнения нет решений. При 
оно задаёт две точки (8; 6) и (−8; 6). Поскольку обе они не принадлежат квадрату K, система не имеет решений, и значение не удовлетворяет условию задачи. Перейдём к случаю 
При 
уравнение принимает вид
и мы получаем окружность радиуса 
с центром в точке (8; 6) (или её часть, лежащую в полуплоскости 
если вся она в этой полуплоскости не помещается). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены x на 
множество 
симметрично относительно оси Оу. Таким образом, есть совокупность полученной выше окружности (или её части) и окружности, получающейся из уже построенной отражением относительно оси Оу.
Если 
график
не пересекает квадрат K, и система уравнений не имеет решений. Если 
система уравнения имеет два решения — точки 
и 
Если 
дуга окружности
и пересекает отрезок AB дважды — эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оу, образуют 4 различных решения системы. Если 
дуга окружности
и пересекает отрезки DA и CB в двух точках с положительной абсциссой. Аналогично, эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оу, образуют 4 различных решения системы. Если 
система уравнений имеет два решения — точки (0; 0) и (0; 12). Наконец, если 
дуга окружности
и не пересекает стороны квадрата K и система уравнений не имеет решений. Таким образом, система уравнений имеет ровно два решения только при 
и 
Ответ: 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы — 2 балла.
Если при этом стороны квадрата не параллельны осям координат — не более 3 баллов за задачу.
За каждое найденное значение параметра — по 2 балла.
В ответ включены лишние значения параметра — не более 4 баллов за задачу.
Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет ровно два решения.
Рассмотрим первое уравнение системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые 
этих точках. Возьмем область, расположенную сверху от обеих прямых. В ней лежит, например, точка (0; 10). Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке оба выражения 
и 
положительны. Таким образом, уравнение принимает вид
откуда 
С учётом рассматриваемых ограничений подходит отрезок с концами в точках 
и 
Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата K с вершинами в точках 
и 
Эта фигура не имеет пересечения с полуплоскостью 
поэтому можно считать, что 
С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде
(раскрыв модуль у переменной y). Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через модуль у переменной y). Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через Если у уравнения нет решений. При оно задаёт две точки 
и 
Поскольку обе они не принадлежат квадрату K, система не имеет решений, и значение не удовлетворяет условию задачи. Перейдём к случаю
При уравнение принимает вид
и мы получаем окружность радиуса с центром в точке (или её часть, лежащую в полуплоскости если вся она в этой полуплоскости не помещается). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены x на множество симметрично относительно оси Оy. Таким образом, замены x на множество симметрично относительно оси Оy. Таким образом, есть совокупность полученной выше окружности (или её части) и окружности, получающейся из уже построенной отражением относительно оси Оу.
Если 
график
не пересекает квадрат K, и система уравнений не имеет решений. Если 
система уравнения имеет два решения — точки 
и 
Если 
дуга окружности
и пересекает отрезок AB дважды — эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оу, образуют 4 различных решения системы.
Если 
дуга окружности
и пересекает отрезки DA и CB в двух точках с положительной абсциссой. Аналогично, эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оу, образуют 4 различных решения системы. Если 
система уравнений имеет два решения — точки (0; 0) и 
Наконец, если 
дуга окружности
и не пересекает стороны квадрата K и система уравнений не имеет репений. Таким образом, система уравнений имеет ровно два репения только при 
и 
Ответ: 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы — 2 балла.
Если при этом стороны квадрата не параллельны осям координат — не более 3 баллов за задачу.
За каждое найденное значение параметра — по 2 балла.
В ответ включены лишние значения параметра — не более 4 баллов за задачу.
Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет ровно два решения.
Рассмотрим первое уравнение системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые 
Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке оба выражения 
и 
отрицательны. Таким образом, уравнение принимает вид
С учётом рассматриваемых ограничений подходит отрезок с концами в точках 
и 
Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата K с вершинами в точках 
и 
Эта фигура не имеет пересечения с полуплоскостью поэтому можно считать, что 
С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде
(опустив модуль у переменной y). Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через Если у уравнения нет решений. При оно задаёт две точки (4; 3) и (−4; 3). Поскольку обе они не принадлежат квадрату K, система не имеет решений, и значение не удовлетворяет условию задачи. Перейдём к случаю 
При уравнение принимает вид
и мы получаем окружность радиуса с центром в точке (4; 3) (или её часть, лежащую в полуплоскости если вся она в этой полуплоскости не помещается). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены x на множество симметрично относительно оси Oy. Таким образом, есть совокупность полученной выше окружности (или её части) и окружности, получающейся из уже построенной отражением относительно оси Oy.
Если 
график
не пересекает квадрат K, и система уравнений не имеет решений. Если 
система уравнения имеет два решения — точки 
и 
Если 
дуга окружности
и пересекает отрезок AB дважды эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оу, образуют 4 различных решения системы. Если 
дуга окружности
и пересекает отрезки DA и CB в двух точках с положительной абсциссой. Аналогично, эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оу, образуют 4 различных решения системы. Если 
система уравнений имеет два решения — точки (0; 0) и (0; 6). Наконец, если 
дуга окружности
и не пересекает стороны квадрата K и система уравнений окружности
и не пересекает стороны квадрата K и система уравнений не имеет решений. Таким образом, система уравнений имеет ровно два решения только при 
и 
Ответ: 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы — 1 балл.
За каждое значение параметра — по 2 балла.
В ответ включены лишние значения параметра — не более 3 баллов за задачу.
Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет ровно два решения.
Рассмотрим первое уравнение системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые 
и 
отрицательны. Таким образом, уравнение принимает вид
откуда 
С учётом рассматриваемых ограничений подходит отрезок с концами в точках 
и 
Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата K с вершинами в точках 
и 
Эта фигура не имеет пересечения с полуплоскостью 
поэтому можно считать, что 
С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде
(опустив модуль у переменной x). Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через модуль у переменной x). Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через Если у Уравнения нет решений. При оно задаёт две точки (6; 8) и (6; −8). Поскольку обе они не принадлежат квадрату K, система не имеет решений, и значение не удовлетворяет условию задачи. Перейдём к случаю
При 
уравнение принимает вид
и мы получаем окружность радиуса с центром в точке (6; 8) (или её часть, лежащую в полуплоскости 
если вся она в этой полуплоскости не помещается). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены y на 
множество симметрично относительно оси Ox. Таким образом, есть совокупность полученной выше окружности (или её части) и окружности, получающейся из уже построенной отражением относительно оси Ox. Если график
не пересекает квадрат K, и система уравнений не имеет решений. Если система уравнения имеет два решения — точки 
и 
Если дуга окружности
и 
пересекает отрезок AB дважды — эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оx, образуют 4 различных решения системы. Если дуга окружности
и пересекает отрезки DA и CB в двух точках с отрицательной ординатой. Аналогично, эти две точки, а также им симметричные относительно оси Ох, образуют 4 различных решения системы. Если система уравнений имеет два решения — точки (0; 0) и (12; 0). Наконец, если дуга окружности
и 
не пересекает стороны квадрата K и система уравнений не имеет решений. Таким образом, система уравнений имеет ровно два решения только при и 
Ответ:
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы — 1 балл.
За каждое значение параметра — по 2 балла.
В ответ включены лишние значения параметра — не более 3 баллов за задачу.
Найдите все пары действительных параметров a и b, при каждой из которых система уравнений
имеет бесконечно много решений.
Если 
то второе уравнение системы принимает вид 
и поэтому решений у системы нет. При всех остальных значениях параметров в каждом из уравнений хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля. Следовательно, оба уравнения системы определяют некоторые прямые, и для существования бесконечного количества решений нужно, чтобы эти прямые совпадали. Это возможно при пропорциональности коэффициентов уравнений, то есть при
Отметим также, что невозможен случай, когда коэффициенты при одной из переменных или свободные члены обращаются в ноль в обоих уравнениях*. Рассматривая первое равенство из (??), получаем
Далее подставим это во второе равенство (??):
а) если 
то
отсюда получаем два решения системы: 
и 
б) если 
то
отсюда получаем ещё два решения системы: 
Ответ: 
*Вообще говоря, это существенное замечание. Например, уравнения 
и 
задают одну и ту же прямую.
Записано условие, при котором система уравнений имеет бесконечно много решений (пропорциональность коэффициентов уравнения или эквивалентное условие) — 1 балл.
Записано условие пропорциональности, но не учтено, что оба коэффициента при одной переменной могут равняться нулю — снять 1 балл.
Предполагается, что уравнения системы должны быть одинаковы — 0 баллов за задачу.
Неэквивалентное преобразование системы (исходной или новой системы уравнений относительно параметров) — не более 1 балла за задачу.
Потеряно хотя бы одно решение — не более 2 баллов за задачу.
Найдите все пары действительных параметров a и b, при каждой из которых система
уравнений
имеет бесконечно много решений.
Если то второе уравнение системы принимает вид и поэтому решений у системы нет. При всех остальных значениях параметров в каждом из уравнений хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля. Следовательно, оба уравнения системы определяют некоторые прямые, и для существования бесконечного количества решений нужно, чтобы эти прямые совпадали. Это возможно при пропорциональности коэффициентов уравнений, то есть при
Отметим также, что невозможен случай, когда коэффициенты при одной из переменных или свободные члены обращаются в ноль в обоих уравнениях 
Рассматривая первое равенство из 
получаем 
отсюда 
Далее подставим это во второе равенство (??):
а) если 
то
отсюда получаем два решения системы:
б) если 
то
отсюда получаем ещё два решения системы:
Ответ: 
* Вообще говоря, это существенное замечание. Например, уравнения 
и 
задают одну и ту же прямую.
Записано условие, при котором система уравнений имеет бесконечно много решений (пропорциональность коэффициентов уравнения или эквивалентное условие) — 1 балл.
Записано условие пропорциональности, но не учтено, что оба коэффициента при одной переменной могут равняться нулю — снять 1 балл.
Предполагается, что уравнения системы должны быть одинаковы — 0 баллов за задачу.
Неэквивалентное преобразование системы (исходной или новой системы уравнений относительно параметров) — не более 1 балла за задачу.
Потеряно хотя бы одно решение — не более 2 баллов за задачу.
a) Постройте эскиз графика функции 
б) Изобразите на плоскости множество точек 
координаты которых удовлетворяют равенству
в) Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет два решения.
г) Докажите, что 
при 
а) Ясно, что вначале следует строить график функции
Вместо того чтобы проделать стандартное исследование при помощи производной, поступим по-другому. Поскольку 
где
то, построив (при помощи двух параллельных переносов) график функции g (см. рис.), далее будем рассуждать следующим образом. Функция 
монотонно возрастает, значит, функция 
убывает: от −1 до 
на интервале 
и от 
до −1 на луче 
Ответ: см. рис.
б) Поскольку отрезок 
является областью значений и синуса и косинуса, то 
Заметим, что наибольшее значение 
при 
не всегда равно a (типичная ошибка!), поскольку
(кстати, по определению степени с произвольными показателями, 
). Поэтому равенство имеет место при 
где 
и ветви гиперболы 
Ответ: см. рис.
в) Эта задача интересна тем, что естественный подход — посмотреть на картинки — может привести к неверному предположению.
Если 
то каждое из уравнений данной системы задает параболу с фиксированной вершиной. На рисунках изображены параболы для «очень отрицательного» значения a, когда система решений не имеет, и «очень положительного», когда ясно, что решений четыре (можно использовать непрерывность функций 
и характер их монотонности). Если то из симметричности картинки ясно, что возможные точки пересечения лежат на прямой откуда 
и 
Таким образом, похоже, что при 
система имеет одно решение (параболы касаются), а если 
то два. Случай 
несколько более загадочен. Опять-таки ясно, что при 
система имеет четыре решения, но что происходит, если 
Оказывается, параболы могут пересечься в четырех точках (см. рис.). Проделаем вычисления. Вычитая первое уравнение системы из второго, получаем 
откуда 
(этот случай был разобран), или же 
В последнем случае приходим к уравнению 
в котором удобно сделать замену 
Полученное уравнение 
имеет решение при 
Заметим, что если 
то 
и 
то 
Ответ: 
г) Решение основано на идее оценки подынтегрального выражения:
поэтому данный интеграл также стремится к нулю.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Найдите все такие значения a и b, что система неравенств
имеет единственное решение.
б) Докажите, что кривая
делит единичную окружность на восемь равных дуг.
в) Докажите, что при любом натуральном k уравнение 
разрешимо в целых числах.
а) Изобразим на плоскости множества, заданные неравенствами
и 
(замена 
). Ясно (см. рис.), что они имеют единственную общую точку лишь при 
Ответ: и b — любое.
б) Перейдя к полярным координатам 
и 
после несложных преобразований получим уравнение 
поэтому данная кривая состоит из восьми проходящих через начало координат прямых. Угол между соседними прямыми равен 
в) Пусть 
тогда числа 
и 
целые.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и b — любое.Найдите все значения параметра a, при которых система
а) имеет ровно 3 решения;
б) имеет ровно 2 решения.
Первое уравнение системы не меняется при замене x на x — и/или y на −y. Следовательно, множество точек, задаваемых первым уравнением симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти получаем часть прямой 
— 
Второе уравнение системы может быть записано в виде 
Оно задаёт окружность с центром 
При решений нет, так что рассмотрим случай окружности.
а) И ромб, и окружность симметричны относительно оси абсцисс, следовательно, 3 решения возможны только в том случае, когда одна из общих точек окружности и ромба лежит на оси абсцисс. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку QA или отрезку QC, т. е. 
или 
Несложно видеть, что при система имеет 3 решения, а при 
решений. Значит, 3 решения возможны только при 
б) Пусть 
—
— радиус той окружности, которая касается сторон AB и AD ромба. Система имеет ровно два решения в том и только том случае, когда
Тогда 
отсюда 
Пусть окружность радиуса касается стороны AB в точке J, а окружность радиуса 
касается стороны BC в точке L. Треугольник CLQ — прямоугольный, 
равен угловому коэффициенту прямой BC, то есть 
Тогда
По теореме Пифагора для треугольника CLQ получаем
откуда 
Поскольку треугольники JQA и LQC подобны и коэффициент подобия равен 
то
Окончательно получаем
Ответ: а)
б) 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы 1 балл.
Показано, что второе уравнение системы задаёт окружность переменного радиуса (или точку) 1 6алл.
Решён пункт а) — 2 балла.
Если указано, что нечётное число решений может быть только когда окружность проходит через вершину ромба, принадлежащую его меньшей диагонали, и при этом получен неверный ответ (лишние решения), то 1 балл вместо 2.
Решён пункт б) — 3 балла.
Отсутствует проверка того, что если окружность проходит через ближайшую вершину ромба, то она не имеет общих точек с двумя дальними сторонами ромба и пр. — баллы не снимать.
Если радиус окружности равен a вместо |a|, то снять 1 балл при условии, что полностью решён хотя бы один из пунктов а)
б) Найдите все значения параметра a, при которых система
а) имеет ровно 3 решения;
б) имеет ровно 2 решения.
Первое уравнение системы не меняется при замене x на −x и/или y на −y. Следовательно, множество точек, задаваемых первым уравнением симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти получаем часть прямой —
Второе уравнение системы может быть записано в виде 
Оно задаёт окружность с центром 
При решений нет, так что рассмотрим случай окружности.
a) И ромб, и окружность симметричны относительно оси ординат, следовательно, 3 решения возможны только в том случае, когда одна из общих точек окружности и ромба лежит на оси ординат. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку QA или отрезку QC, то есть 
или 
Несложно видеть, что при система имеет 3 решения, а при 
решений. Значит, 3 решения возможны только при 
б) Пусть — —
Тогда 
отсюда 
Пусть окружность радиуса касается стороны AB в точке J, а окружность радиуса касается стороны BC в точке L. Треугольник JAQ — прямоугольный,
поэтому
так как он равен угловому коэффициенту прямой AB. Тогда
По теореме Пифагора для треугольника JQA получаем
откуда 
Поскольку треугольники JQA и LQC подобны и коэффициент подобия равен 
то
Окончательно получаем
Ответ: а)
б) 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы 1 балл.
Показано, что второе уравнение системы задаёт окружность переменного радиуса (или точку) 1 6алл.
Решён пункт а) — 2 балла.
Если указано, что нечётное число решений может быть только когда окружность проходит через вершину ромба, принадлежащую его меньшей диагонали, и при этом получен неверный ответ (лишние решения), то 1 балл вместо 2.
Решён пункт б) — 3 балла.
Отсутствует проверка того, что если окружность проходит через ближайшую вершину ромба, то она не имеет общих точек с двумя дальними сторонами ромба и пр. — баллы не снимать.
Если радиус окружности равен a вместо |a|, то снять 1 балл при условии, что полностью решён хотя бы один из пунктов а)
б) Найдите все значения параметра a, при которых система
а) имеет ровно 3 решения;
б) имеет ровно 2 решения.
Первое уравнение системы не меняется при замене x на −x и/или y на −y. Следовательно, множество точек, задаваемых первым уравнением симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти получаем часть прямой 
— луч с началом в точке (0; 2) и угловым коэффициентом 
Используя симметрию множества относительно координатных осей, получаем 2 угла: один с вершиной в точке 
с ветвями вверх, а другой — с вершиной 
и ветвями вниз, угловые коэффициенты сторон угла равны 
Второе уравнение системы может быть записано в виде 
Оно задаёт окружность с центром 
При решений нет, так что рассмотрим случай окружности.
а) И окружность, и множество точек, задаваемых первым уравнением, симметричны относительно оси ординат, следовательно, 3 решения возможны только в том случае, когда одна из их общих точек лежит на оси ординат. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку QA или отрезку QC, т. е. 
или 
Несложно видеть, что при этих a окружность имеет ещё две общие точки со сторонами угла, лежащего в верхней полуплоскости, и всего у системы получается 3 решения. Тогда 
или 
б) Пусть —
Опустим из точки Q перпендикуляр 
на сторону угла, лежащую в первой четверти. Пусть 
—
и 
Так как 
то
и по теореме Пифагора для треугольника AQH получаем
Значит, 
Ответ: а) 
б) 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы 1 балл.
Показано, что второе уравнение системы задаёт окружность переменного радиуса (или точку) 1 балл.
Решён пункт а) — 2 балла.
Решён пункт б) — 2 балла.
Если радиус окружности равен a вместо |a|, то снять 1 балл при условии, что из пунктов а) или 6).
б) Найдите все значения параметра a, при которых система
а) имеет ровно 3 решения;
б) имеет ровно 2 решения.
Первое уравнение системы не меняется при замене x на −x и/или y на −y. Следовательно, множество точек, задаваемых первым уравнением симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти получаем часть прямой 
— луч с началом в точке (1; 0) и угловым коэффициентом 
Используя симметрию множества относительно координатных осей, получаем 2 угла: один с вершиной в точке 
с ветвями вправо, а другой — с вершиной 
и ветвями влево, угловые коэффициенты сторон угла равны 
Второе уравнение системы может быть записано в виде 
Оно задаёт окружность с центром 
При решений нет, так что рассмотрим случай окружности.
а) И окружность, и множество точек, задаваемых первым уравнением, симметричны относительно оси абсцисс, следовательно, 3 решения возможны только в том случае, когда одна из их общих точек лежит на оси абсцисс. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку QA или отрезку QC, т. е. 
или 
Несложно видеть, что при этих a окружность имеет ещё две общие точки со сторонами угла, лежащего в правой полуплоскости, и всего у системы получается 3 решения. Тогда 
или 
б) Пусть —
Опустим из точки Q перпендикуляр QH на сторону угла, лежащую в первой четверти. Пусть —
Так как то
и по теореме Пифагора для треугольника AQH получаем
Значит, 
Ответ: а) 
б) 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы 1 балл.
Показано, что второе уравнение системы задаёт окружность переменного радиуса (или точку) 1 балл.
Решён пункт а) — 2 балла.
Решён пункт б) — 2 балла.
Если радиус окружности равен a вместо |a|, то снять 1 балл при условии, что из пунктов а) или 6).
б) Найдите все значения параметра a, при которых существует значение параметра b такое, что система
имеет ровно два решения.
Первое уравнение на ОДЗ равносильно уравнению
Так ОДЗ определяется неравенством 
и 
Итак, первое уравнение задаёт отрезок AB на плоскости, расположение которого зависит от параметра a.
Второе уравнение может быть переписано в виде
это уравнение окружности с центром 
радиуса 
(также может быть точка или пустое множество, но нас эти варианты не интересуют, так как тогда у системы меньше двух решений).
Система может иметь два решения при каком-либо b тогда и только тогда, когда перпендикуляр, опущенный из M на прямую, содержащую отрезок AB, попадает во внутреннюю точку отрезка (если окружность пересекает прямую, то точки пересечения находятся по разные стороны от проекции центра окружности на прямую).
Составим уравнение прямой, проходящей через М и перпендикулярной AB. Поскольку произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно −1, то её угловой коэффициент равен 
и её уравнение имеет вид
Абсцисса точки пересечения этой прямой и прямой AB может быть найдена из системы уравнений
это 
Чтобы эта точка оказалась внутренней точкой отрезка, необходимо и достаточно, чтобы 
откуда
Ответ: 
При геометрическом способе решения:
а) изображено второе множество (окружность с переменным радиусом или точка) — 1 балл;
б) верно описано первое множество (семейство параллельных отрезков) — 2 балла;
в) верная геометрическая формулировка условия наличия ровно двух решений — 2 балла.
При алгебраическом способе решения:
а) первое уравнение приведено к линейному м ограничением относительно одной из переменных — 2 балла;
б) сделана подстановка и сформулировано верное условие для параболы — 3 балла.
Найдите все значения параметра a такое, что система
имеет не более одного решения при любом значении параметра b.
Первое уравнение на ОДЗ равносильно уравнению
Так ОДЗ определяется неравенством
Итак, первое уравнение задаёт отрезок 
на плоскости, расположение которого зависит от параметра a.
Второе уравнение может быть переписано в виде
это уравнение окружности с центром 
радиуса 
(также может быть точка или пустое множество, но тогда при любом a не более одного решения).
Система имеет не более одного решения при любом b тогда и только тогда, когда перпендикуляр, опущенный из M на прямую, содержащую отрезок AB, не попадает во внутреннюю точку отрезка (если окружность пересекает прямую, то точки пересечения находятся по разные стороны от проекции центра окружности на прямую).
Составим уравнение прямой, проходящей через М и перпендикулярной AB. Поскольку произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно −1, то её угловой коэффициент равен 
и её уравнение имеет вид
Ордината точки пересечения этой прямой и прямой AB может быть найдена из системы уравнений 
—
Чтобы эта точка не оказалась внутренней точкой отрезка, необходимо и достаточно, чтобы 
откуда 
Ответ: 
При геометрическом способе решения:
а) изображено второе множество (окружность с переменным радиусом или точка) — 1 6алл;
б) верно описано первое множество (семейство параллельных отрезков) — 2 балла;
в) верная геометрическая формулировка условия наличия ровно двух решений — 2 балла.
При алгебраическом способе решения:
а) первое уравнение приведено к линейному с ограничением относительно одной из переменных — 2 балла;
б) сделана подстановка и сформулировано верное условие для параболы — 3 балла.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений 
и 
Первое из них задаёт квадрат G с центром 
диагонали которого равны 4 и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность S с центром 
радиуса 
Второе уравнение исходной системы при задаёт окружность 
с центром 
радиуса 
(при 
пустое множество, при одну точку - в этих случаях трёх решений быть не может).
Окружность имеет с окружностью S одну общую точку при 
две общие точки при 
и ни одной общей точки при остальных R.
Окружность имеет с квадратом G одну общую точку при 
или 
Две общие точки при 
и ни одной общей точки при остальных R.
Для того чтобы у системы было три решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность имела две общие точки с квадратом G и одну общую точку с окружностью S или наоборот. Рассмотрим значения R, при которых окружность имеет с квадратом G или окружностью S ровно одну общую точку.
1) При 
Тогда есть одна общая точка с окружностью S и две общие точки с квадратом G (т. к. 
т. е. у системы 3 решения.
2) При 
Тогда есть одна общая точка с окружностью S и нет общих точек с квадратом G (т. к. 
т. е. у системы 1 решение.
3) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и две общие точки с окружностью S (т. к. 
т. е. у системы 3 решения.
4) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и нет общих точек с окружностью S (т. к. 
т. е. у системы 1 решение.
Итак, подходят и Тогда 
и 
Ответ: при и 
Построено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению — 2 балла.
Сверх этого1:
а) за каждое найденное значение параметра — 3 балла.
б) получено 1 лишнее значение параметра — снять 1 балл.
в) получено 2 лишних значения параметра — снять 3 балла.
и Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений 
и 
Первое из них задаёт квадрат G с центром 
диагонали которого равны 6 и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность S с центром радиуса 
Второе уравнение исходной системы при задаёт окружность с центром 
радиуса (при пустое множество, при одну точку — в этих случаях трёх решений быть не может).
Окружность имеет с окружностью S одну общую точку при 
две общие точки при 
и ни одной общей точки при остальных R.
Окружность имеет с квадратом G одну общую точку при 
или 
две общие точки при 
и ни одной общей точки при остальных R.
Для того чтобы у системы было три решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность имела две общие точки с квадратом G и одну общую точку с окружностью S или наоборот. Рассмотрим значения R, при которых окружность имеет с квадратом G или окружностью S ровно одну общую точку.
1) При 
Тогда есть одна общая точка с окружностью S и две общие точки с квадратом G 
2) При 
Тогда есть одна общая точка с окружностью S и нет общих точек с квадратом G 
3) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и две общие точки с окружностью S 
4) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и нет общих точек с окружностью S (т. к. 
т. е. у системы 1 решение. Итак, подходят и Tогда 
и 
Ответ: при 
и 
Построено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению — 2 балла.
Сверх этого1:
а) за каждое найденное значение параметра — 3 балла.
б) получено 1 лишнее значение параметра — снять 1 балл.
в) получено 2 лишних значения параметра — снять 3 балла.
и Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений и Первое из них задаёт квадрат G с центром диагонали которого равны 4 и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность S с центром Второе уравнение исходной системы при задаёт окружность с центром 
радиуса (при пустое множество, при одну точку - в этих случаях трёх решений быть не может).
Окружность имеет с окружностью S одну общую точку при две общие точки при и ни одной общей точки при остальных R.
Окружность имеет с квадратом G одну общую точку при или две общие точки при 
и ни одной общей точки при остальных R.
Для того чтобы у системы было три решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность имела две общие точки с квадратом G и одну общую точку с окружностью S или наоборот. Рассмотрим значения R, при которых окружность имеет с квадратом G или окружностью S ровно одну общую точку.
1) При Тогда есть одна общая точка с окружностью S и две общие точки с квадратом G
2) При Тогда есть одна общая точка с окружностью S и нет общих точек с квадратом G 
3) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и две общие точки с окружностью S 
4) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и нет общих точек с окружностью S (т. к. 
т. е. у системы 1 решение. Итак, подходят и Тогда и
Ответ: 
Построено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению — 2 балла.
Сверх этого:
а) за каждое найденное значение параметра — 3 балла;
б) получено 1 лишнее значение параметра — снять 1 балл;
в) получено 2 лишних значения параметра — снять 3 балла.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений и Первое из них задаёт квадрат G с центром диагонали которого равны 6 и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность S с центром (0; 0) радиуса Второе уравнение исходной системы при задаёт окружность с центром (−5; 4) радиуса (при пустое множество, при одну точку — в этих случаях трёх решений быть не может).
Окружность имеет с окружностью S одну общую точку при две общие точки при
и ни одной общей точки при остальных R.
Окружность имеет с квадратом G одну общую точку при или две общие точки при и ни одной общей точки при остальных R. Для того чтобы у системы было три решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность имела две общие точки с квадратом G и одну общую точку с окружностью S или наоборот. Рассмотрим значения R, при которых окружность имеет с квадратом G или окружностью S ровно одну общую точку.
1) При Тогда есть одна общая точка с окружностью S и две общие точки с квадратом G 
2) При Тогда есть одна общая точка с окружностью S и нет общих точек с квадратом G
3) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и две общие точки с окружностью S
4) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и нет общих точек с окружностью S (т. к. 
т. е. у системы 1 решение. Итак, подходят и Тогда и
Ответ: 
Построено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению — 2 балла.
Сверх этого:
а) за каждое найденное значение параметра — 3 балла;
б) получено 1 лишнее значение параметра — снять 1 балл;
в) получено 2 лишних значения параметра — снять 3 балла.
Наверх