Всего: 102 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Парабола 
пересекается с некоторой окружностью в четырёх точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на параболе, задаваемой уравнением вида 
Уравнение окружности в имеет вид 
для некоторых чисел a, b, c. Поскольку точки пересечения окружности и и параболы удовлетворяют двум уравнениям, они удовлетворяют также любой их комбинации. В частности,
Это уравнение задаёт параболу требуемого вида.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведено доказательство в общем случае. | 20 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 20 |
Рассмотрим всевозможные приведенные квадратные трёхчлены x2 + px + q с целыми коэффициентами p и q. Назовём областью значений такого трехчлена множество его значений во всех целых точках x = 0, ±1, ±2, . . . . Какое наибольшее количество таких трехчленов можно выбрать, чтобы их области значений попарно не пересекались?
Заметим, что замена переменной x → x + k при любом целом k не меняет области значений многочлена. Тогда, сделав замену x → x − 
(квадратные скобки означают целую часть) можем считать, что любой многочлен имеет один из двух видов: x2 + q или x2 + x + q.
Области значений любых двух многочленов разного вида пересекаются: в самом деле, значения многочленов x2 + q и x2 + x + q' совпадают при x = q − q'. Значит, многочлены разного вида брать нельзя.
Многочленов первого вида можно выбрать не больше двух, поскольку если области значений f1(x) = x2 + q и f2(x) = x2 + q' не пересекаются, то q − q' = 4k + 2 при некотором k ∈ Z. В самом деле, для нечетной разности свободных членов q − q' = 2k + 1 имеем f1(k) = f2(k + 1). Для делящейся на 4 разности свободных членов q − q' = 4k имеем f1(k − 1) = f2(k + 1). Но если выбрано хотя бы три многочлена, то среди попарных разностей свободных членов хотя бы одна не имеет вид 4k + 2.
Многочленов второго вида тоже можно выбрать не больше двух, поскольку если области значений f1(x) = x2 + x + q и f2(x) = x2 + x + q' не пересекаются, то q − q' = 2k + 1 при некотором k ∈ Z. В самом деле, для четной разности свободных членов q − q' = 2k имеем f1(k − 1) = f2(k). Опять же, если выбрано хотя бы три многочлена, то среди попарных разностей свободных членов хотя бы одна четна.
Итак, больше двух многочленов выбрать нельзя. Пример для двух: f1(x) = x2 и f2(x) = x2 + 2.
Ответ: 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведено полное решение. | 20 |
| Решение верно по модулю небольших неточностей. | 18 |
| Есть доказательство того, что для каждого типа значений (x2 + q и x2 + x + q) можно взять не более двухтрёхчленов. | 14 |
| Полное решение, но только для случая x2 + q. | 8 |
| Пример двух трёхчленов, у которых области значений не пересекаются. | 4 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 20 |
Рассмотрим всевозможные приведенные квадратные трёхчлены x2 + px + q с целыми коэффициентами p и q. Назовём областью значений такого трехчлена множество его значений во всех целых точках x = 0, ±1, ±2, . . . . Какое наибольшее количество таких трехчленов можно выбрать, чтобы их области значений попарно не пересекались?
Заметим, что замена переменной x → x + k при любом целом k не меняет области значений многочлена. Тогда, сделав замену x → x − (квадратные скобки означают целую часть) можем считать, что любой многочлен имеет один из двух видов: x2 + q или x2 + x + q.
Области значений любых двух многочленов разного вида пересекаются: в самом деле, значения многочленов x2 + q и x2 + x + q' совпадают при x = q − q'. Значит, многочлены разного вида брать нельзя.
Многочленов первого вида можно выбрать не больше двух, поскольку если области значений f1(x) = x2 + q и f2(x) = x2 + q' не пересекаются, то q − q' = 4k + 2 при некотором k ∈ Z. В самом деле, для нечетной разности свободных членов q − q' = 2k + 1 имеем f1(k) = f2(k + 1). Для делящейся на 4 разности свободных членов q − q' = 4k имеем f1(k − 1) = f2(k + 1). Но если выбрано хотя бы три многочлена, то среди попарных разностей свободных членов хотя бы одна не имеет вид 4k + 2.
Многочленов второго вида тоже можно выбрать не больше двух, поскольку если области значений f1(x) = x2 + x + q и f2(x) = x2 + x + q' не пересекаются, то q − q' = 2k + 1 при некотором k ∈ Z. В самом деле, для четной разности свободных членов q − q' = 2k имеем f1(k − 1) = f2(k). Опять же, если выбрано хотя бы три многочлена, то среди попарных разностей свободных членов хотя бы одна четна.
Итак, больше двух многочленов выбрать нельзя. Пример для двух: f1(x) = x2 и f2(x) = x2 + 2.
Ответ: 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведено полное решение. | 20 |
| Решение верно по модулю небольших неточностей. | 18 |
| Есть доказательство того, что для каждого типа значений (x2 + q и x2 + x + q) можно взять не более двухтрёхчленов. | 14 |
| Полное решение, но только для случая x2 + q. | 8 |
| Пример двух трёхчленов, у которых области значений не пересекаются. | 4 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 20 |
Сколько существует натуральных чисел n таких, что уравнение 
имеет целочисленное решение?
Поскольку 
то 
Условие задачи выполняется, если 12 кратно n. У числа 12 шесть целочисленных делителей, это и будет ответ.
Ответ: 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Полное решение. | + | 10 |
| Приведены все основные логические шаги решения. Посчитаны целые значения n. ИЛИ Приведены все основные логические шаги решения. Ответ неверный. | +/2 | 5 |
| Ответ верный. Решение отсутствует или неверное. | ∓ | 2 |
| Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше. | −/0 | 0 |
| Максимальный балл | 10 | |
Найдите все значения параметра a, для которых уравнение
имеет корни 
и 
удовлетворяющие условию 
Ясно, что
это парабола с ветвями вверх, поэтому решением неравенства 
является интервал 
Тогда 
отсюда 
Решая неравенство, получаем ответ.
Ответ: 
Найти все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства 
содержит только одно целое число.
Очевидно, что 
не подходит. Тогда при 
найдя корни соответствующего квадратного трехчлена, получим
Если 
то решением этого неравенства будет неограниченное множество чисел (объединение двух лучей). Поэтому остается рассмотреть случай, когда 
Тогда решением неравенства
будет интервал 
при 
или интервал 
при 
(значение 
также не отвечает на вопрос задачи).
Интервал будет содержать только одно целое число тогда и только тогда, когда будет выполняться условие
Аналогично, рассматривая интервал 
получим условие
Ответ: 
Обоснованно получен верный ответ — 15 баллов. С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки 
—
В решении верно найдены все граничные точки множества a: −1, 
но неверно определены промежутки 
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств
имеет единственное решение.
Разложим левые части неравенств на множители:
Если a − 1 ⩽ − 3, то решение первого неравенства составляют множества 
а решение второго — множество 
так что у системы будет единственное решение x = a − 1. В случае же a − 1 > − 3 множества решений обоих неравенств содержат отрезок вида 
где в качестве b можно взять, например, наименьшее из чисел −1 и a − 1.
Ответ: 
Найдите наибольшее значение параметра a, при котором неравенство
имеет хотя бы одно решение.
Если 
то решение данного неравенства существует. Так как нас интересует наибольшее значение a, при котором неравенство имеет решение, то далее следует искать, если такие положительные a. Преобразуем левую часть данного неравенства следующим образом, учитывая, 
При любом 
и 
это выражение не меньше, чем 
так как 
при 
Правая часть не превосходит 
Таким образом, неравенство может иметь решение при 
то есть если 
Нас интересует наибольшее значение параметра a, поэтому пусть 
Тогда левая часть данного неравенства достигает минимального значения 
при x, удовлетворяющем условию 
то есть при 
и 
Правая часть данного неравенства при этих же значениях x 
и 
достигает значения 
Таким образом, 
есть искомое значение параметра.
Ответ: 
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Решение верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов. Получены некоторые вспомогательные утверждения, обеспечивающие продвижение в решении в верном направлении — 3−4 балла. Ответ получен подбором, но при этом есть хоть какие-то здравые рассуждения — 1 балл.
Пусть 
а) Решите уравнение 
б) Найдите множество значений отношения 
в) Определите число решений уравнения 
на отрезке 
а) Преобразуем уравнение
Значит либо 
или 
при 
отсюда 
Либо
Обозначив 
получим 
или 
получим 
или 
откуда
Первый из этих наборов включен в ответы и так — все его элементы получаются по формуле
б)Воспользуемся формулой из пункта б)
Обозначив получим
Поскольку t принимает все значения из отрезка 
нам нужно определить множество значений функции 
при 
кроме 
(поскольку при этих t имеем 
и 
не определено.
Функция 
—
причем 
а наибольшее — при 
или 
Тогда 
и 
поэтому область значений на отрезке [−1; 1] будет 
а на интервале [−1; 1] 
в) Возможны два случая.
Если 
(то есть 
других подходящих точек на этом интервале нет), то 
и уравнение выполнено при любом a. Если же 
то можно поделить обе части уравнения на 
и получить уравнение 
где 
При 
получаем 
и 
причем каждому такому t соответствует ровно одно x из данного в задаче промежутка.
Очевидно функция возрастает на 
и принимает по одному разу все значения из полуинтервала 
Итак, ответ будет таким — при 
уравнение имеет два корня, а при прочих a — один корень (напомним, что 
является корнем всегда).
Ответ:
а) 
б) 
в) одно решение при 
и 
два — при 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а)
б)
в) одно решение при и два — при
а) Решите уравнение 
б) Найдите множество всех точек плоскости, являющихся серединами отрезков, концы которых лежат на 
в) Найдите все такие a, при которых функция 
нечетная.
г) Найдите все такие b, что при любом a уравнение 
имеет решение.
а) Перепишем уравнение в виде 
и преобразуем при условии 
Ответ: 
б) Точка с координатами
является серединой отрезка, концы которого лежат на кривой 
тогда и только тогда, когда найдутся такие числа a и b, что
Исключая очевидное решение 
приходим к уравнению 
которое разрешимо при 
Пункт 1б) не обнаружен в файле. Решения нет.
Ответ: на рисунке.
в) При получаем 
Но если нечетная функция 
определена при то 
поэтому либо 
либо 
Итак, остается проверить и 
При получим
что определено при 
и не определено при 
поэтому функция не будет нечетной.
При 
получим
и 
при всех x. Решим
что верно. Осталось еще объяснить, что и 
определены при одних и тех же x. Ясно, что при всех 
а при 
Поскольку произведение этих выражений всегда положительно, то на самом деле оба они всегда одного знака, то есть оба положительны. Значит, логарифмы определены.
Ответ: 
г) Изобразим график 
(см. рис.). Прямые 
проходят через точку 
на оси ординат. Поэтому вопрос сводится к такому — какие точки на оси ординат обладают таким свойством — любая невертикальная прямая, проведенная через них, пересекает график 
Очевидно при 
можно провести горизонтальную прямую и она не пересечет график, при 
точка 
лежит на графике, а при 
прямые с неотрицательным k пересекают график во второй четверти, а с отрицательным k — в первой четверти (возможно есть и второе пересечение, но это неважно).
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
на рисунке.
г) Изобразим график (см. рис.). Прямые проходят через точку на оси ординат. Поэтому вопрос сводится к такому — какие точки на оси ординат обладают таким свойством — любая невертикальная прямая, проведенная через них, пересекает график Очевидно при можно провести горизонтальную прямую и она не пересечет график, при точка лежит на графике, а при прямые с неотрицательным k пересекают график во второй четверти, а с отрицательным k — в первой четверти (возможно есть и второе пересечение, но это неважно).
Пусть 
а) Решите неравенство 
б) Найдите множество значений функции f.
в) Найдите число положительных решений уравнения 
а) Сделаем сразу замену 
тогда 
и 
Пусть 
Отметим также, что каждому 
соответствует ровно одно 
и наоборот. Тогда неравенство примет вид
а учитывая условие —
Тогда 
или 
где 
Ответ:
б) Очевидно это множество совпадает с множеством значений функции 
при 
то есть квадратного трехчлена 
с отрицательным старшим коэффициентом. Наибольшее его значение достигается при 
и равно 
поэтому множество значений его 
Ответ: 
в) Рассмотрим функцию
которая связана с f соотношением 
Имеется взаимно однозначное соответствие 
между положительными решениями уравнения 
и решениями уравнения 
лежащими на луче 
График 
для 
изображен на рисунке, откуда и получаем ответ: уравнение имеет один корень при 
и два — при 
После той же замены мы получим уравнение 
при условии 
Функция 
убывает при 
причем 
Значит, функция 
убывает до корня уравнения 
а затем возрастает. Поэтому она принимает все значения на промежутке 
а потом — на промежутке 
Поэтому уравнение имеет единственный корень при 
два корня при 
один корень при и не имеет корней при
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Докажите, что уравнение 
имеет два различных действительных корня, если 
Верно ли обратное утверждение?
б) Решите уравнение 
в) Изобразите на плоскости множество всех таких пар 
действительных чисел, что функция 
монотонна на всей числовой прямой.
г) Абсциссы двух точек пересечения некоторой прямой с графиком функции 
равны и 
Найдите абсциссы остальных точек пересечения.
а) Пусть
Так как 
то 
значит, парабола, являющаяся графиком функции p, пересечет ось абсцисс в двух разных точках. Обратное утверждение неверно, пример — на рисунке.
б) Из цепочки
следует, что 
и 
или 
Ответ: 
в) На рисунке изображено множество пар
заданное неравенством 
так как производная 
данной функции должна сохранять знак на всей оси.
Ответ: см. рисунок.
г) Абсциссы точек пересечения прямой 
с графиком функции являются корнями уравнения
следовательно, их сумма равна нулю.
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
см. рисунок. а) Докажите, что уравнение имеет два различных действительных корня, если 
Верно ли обратное утверждение?
б) Решите уравнение
в) Изобразите на плоскости множество всех таких пар 
действительных чисел, что неравенство 
верно при всех 
г) Существует ли прямая, пересекающая кривую 
в трех различных точках?
а) Пусть 
Заметим, что
то есть 
и 
имеют разные знаки. Значит, на отрезке 
есть один корень уравнения 
а всего корней два (если бы он был один, то график 
касался бы оси абсцисс и функция не принимала бы значений разных знаков). Обратное утверждение неверно, если, например, оба корня не лежат на этом отрезке, как у трехчлена 
тогда корнями будут 
и 
а
б) Так как 
то равенство возможно лишь в тех случаях, когда 
откуда 
Для решений первой системы имеем 
откуда 
Поскольку k и l — целые числа, а 
получаем следующие варианты: 
или 
или 
или, наконец, 
и 
Ответ: 
в) Неравенство
задает множество пар лежащих в квадрате со сторонами, параллельными биссектрисам координатных углов, имеющем центр в точке с координатами 
Множество пар лежащих в каждом таком квадрате при 
является прямоугольником.
Ответ: см. рисунке.
г) Возьмем для примера прямую, проходящую через точки с координатами 
и 
(смотрите решение соответствующего пункта варианта 9).
Ответ: да, существует.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
см. рисунке. да, существует.a) Постройте эскиз графика функции 
б) Изобразите на плоскости множество точек 
координаты которых удовлетворяют равенству
в) Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет два решения.
г) Докажите, что 
при 
а) Ясно, что вначале следует строить график функции
Вместо того чтобы проделать стандартное исследование при помощи производной, поступим по-другому. Поскольку 
где
то, построив (при помощи двух параллельных переносов) график функции g (см. рис.), далее будем рассуждать следующим образом. Функция 
монотонно возрастает, значит, функция 
убывает: от −1 до 
на интервале 
и от 
до −1 на луче 
Ответ: см. рис.
б) Поскольку отрезок 
является областью значений и синуса и косинуса, то 
Заметим, что наибольшее значение 
при 
не всегда равно a (типичная ошибка!), поскольку
(кстати, по определению степени с произвольными показателями, 
). Поэтому равенство имеет место при 
где 
и ветви гиперболы 
Ответ: см. рис.
в) Эта задача интересна тем, что естественный подход — посмотреть на картинки — может привести к неверному предположению.
Если 
то каждое из уравнений данной системы задает параболу с фиксированной вершиной. На рисунках изображены параболы для «очень отрицательного» значения a, когда система решений не имеет, и «очень положительного», когда ясно, что решений четыре (можно использовать непрерывность функций 
и характер их монотонности). Если 
то из симметричности картинки ясно, что возможные точки пересечения лежат на прямой откуда 
и 
Таким образом, похоже, что при 
система имеет одно решение (параболы касаются), а если 
то два. Случай несколько более загадочен. Опять-таки ясно, что при 
система имеет четыре решения, но что происходит, если 
Оказывается, параболы могут пересечься в четырех точках (см. рис.). Проделаем вычисления. Вычитая первое уравнение системы из второго, получаем 
откуда 
(этот случай был разобран), или же 
В последнем случае приходим к уравнению 
в котором удобно сделать замену 
Полученное уравнение 
имеет решение при 
Заметим, что если 
то 
и 
то 
Ответ: 
г) Решение основано на идее оценки подынтегрального выражения:
поэтому данный интеграл также стремится к нулю.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Найдите все такие значения a и b, что система неравенств
имеет единственное решение.
б) Докажите, что кривая
делит единичную окружность на восемь равных дуг.
в) Докажите, что при любом натуральном k уравнение 
разрешимо в целых числах.
а) Изобразим на плоскости множества, заданные неравенствами
и 
(замена 
). Ясно (см. рис.), что они имеют единственную общую точку лишь при 
Ответ: и b — любое.
б) Перейдя к полярным координатам 
и 
после несложных преобразований получим уравнение 
поэтому данная кривая состоит из восьми проходящих через начало координат прямых. Угол между соседними прямыми равен 
в) Пусть 
тогда числа 
и 
целые.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и b — любое.а) Решите неравенство 
б) Найдите все решения уравнения 
лежащие в отрезке
в) Решите уравнение 
а) Решение стандартно, геометрическая интерпретация — на рисунке.
Ответ: 
б) После разложения на множители получаем, что
или 
откуда 
при 
Осталось определить те решения, которые попадают в указанный отрезок, для чего удобно рассмотреть график функции 
при 
(см. рисунок).
Ответ: 
при любых a, 
при 
при 
в) Так как
то 
Это уравнение имеет очевидное решение 
осталось доказать, что других решений у него нет. Заметим, что в обеих частях этого уравнения стоят возрастающие функции, поэтому прямая ссылка на монотонность недоказательна, однако ясно (доказательство — далее), что 
«растет быстрее», чем 
Действительно,
при значит, функция 
возрастает на 
и более одного нуля не имеет. Если 
Ответ: 1.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при любых a, при при 1.а) Найдите уравнения тех касательных к графику функции 
которые проходят через начало координат.
б) При каких a уравнение 
имеет решения?
в) Сколько решений имеет уравнение 
?
г) Сколько рациональных решений имеет уравнение пункта в)?
а) Вычисление стандартно.
Ответ: 
б) Запишем уравнение в виде
и исследуем функцию 
при 
при 
при 
Ответ ясен из приведенного на рисунке графика.
Ответ: 
в) Эта задача характерна тем, что бездумное использование графической интерпретации может привести к ошибке. На рисунке показаны эскизы графиков при не очень больших значениях аргумента. Ясно, что эти графики имеют одну точку пересечения с отрицательной абсциссой (монотонность и непрерывность), но не совсем понятно, что происходит на
Это уравнение имеет очевидное решение 
и, как следует из рисунке, существует и еще одно его решение на интервале 
Ответ: три решения.
г) Так как при нецелых x число 6x иррационально, то среди натуральных чисел решением может быть только (см. решение предыдущего пункта), которое таковым не является.
Ответ: одно рациональное решение 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
три решения. одно рациональное решение а) Сколько решений в зависимости от a имеет уравнение
б) Докажите, что при любом натуральном n число 
делится на 
в) Докажите неравенство
где в числителе дроби 1994 квадратных корня, в знаменателе — 1993.
а) Действительно, функция 
убывает на луче 
возрастает на 
и
при любом 
Ответ: два решения при 
бесконечно много при 
и ни одного при 
б) Имеем:
поскольку единица является его корнем.Заметим, что данный многочлен имеет вид 
где 
и вообще утверждение задачи имеет следующее обобщение: если 
— многочлен, то 
делится на 
в) Положим 
(1993 квадратных корней). Далее,
поэтому исходное неравенство равносильно 
или 
что верно. Полезно также отметить, что данная дробь равна
что, очевидно, больше 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
бесконечно много при и ни одного при а) Решите неравенство 
б) Найдите все решения уравнения 
лежащие в отрезке 
в) Решите уравнение 
а) Преобразуем неравенство 
т. е. 
При 
получаем неравенство 
или 
У многочлена в левой части есть корень поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
Оба множителя неотрицательны при 
поэтому подходит только 
При 
получаем неравенство 
то есть 
или 
Второй множитель всегда положителен, значит, 
Окончательно 
Ответ:
б) Преобразуем уравнение
Второй множитель дает
Если же нулю равен первый множитель, то
Функция 
на отрезке 
убывает, принимая по одному разу все значения из промежутка 
а на промежутке 
возрастает, принимая по одному разу все значения из промежутка 
Теперь можно написать ответ. При 
и при 
решений нет. При 
получим 
При 
получим 
поэтому уравнение имеет два корня, а именно 
и 
откуда 
При 
получим 
поэтому уравнение имеет один корень, а 
Осталось добавить корень 
везде, где его еще нет и можно написать окончательный ответ. При одно решение При одно решение При три решения 
и При 
два решения
(не сошлось с ответом, стоит проверить!)
Ответ: 
при любом b, 
при 
при 
в) Преобразуем уравнение 
или 
Поделив на 
получим 
откуда 
Функция в левой части уравнения возрастает, а в правой — убывает, поэтому их графики пересекутся не более одного раза. Один корень можно угадать, это
Ответ:
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при любом b, при при а) Найдите уравнения тех касательных к графику функции 
которые проходят через начало координат.
б) При каких a уравнение 
имеет решения?
в) Сколько решений имеет уравнение 
г) Сколько рациональных решений имеет уравнение пункта в?
а) Поскольку 
касательная в точке 
имеет уравнение 
то есть 
Если эта прямая проходит через начало координат, то 
откуда 
и уравнение касательной имеет вид 
Ответ: 
б) Если 
то 
—
поэтому графики 
и обязательно пересекутся где-то в области 
Если то корней очевидно нет. Пусть теперь 
Функция является выпуклой вниз (ее вторая производная 
), поэтому прямые, проходящие ниже касательной при положительных x не будут пересекать ее график, а проходящие выше касательной — будут (см. рис.). При имеем 
поэтому там пересечений не будет. Окончательно 
Ответ: 
в) Запишем уравнение в виде 
Ясно, что не было корнем исходного уравнения. Тогда
Исследуем теперь функцию в левой части. При 
она примет вид 
поэтому
что положительно при 
и отрицательно при 
значит, эта функция возрастает при 
и убывает 
(мы использовали правило Лопиталя) и
Итак, функция принимает все значения из промежутка 
при и принимает все значения из промежутка 
при 
В частности 
поэтому такое значение при положительных x функция принимает дважды. Если же
то 
то есть функция нечетна. Значит, она при принимает значение 
столько же раз, сколько при принимает значение 
Это, очевидно, происходит один раз. Итого имеется три корня уравнения — по одному на промежутках 
Ответ: три решения.
г) Пусть 
—
Имеем 
отсюда ясно, что 
тогда 
Если 
то в левой части записано целое число, тогда в правой тоже должно быть целое число. Однако при возведении несократимой дроби в степень она не может стать сократимой, поэтому знаменатель ее будет равен 
а должен быть единицей, откуда 
и 
— то аналогично можно записать уравнение в виде 
откуда ясно, что (а значит 
).
Итак, либо x натуральное число, либо 
где b — натуральное. Ясно что 
подходит в уравнение. Это корень, лежавший на 
На 
есть всего два натуральных числа и 
они корнями не являются.
Наконец пусть 
и уравнение 
принимает вид 
что невозможно, поскольку 
тоже иррациональный. Итого один рациональный корень.
Ответ: одно решение 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
три решения. одно решение Наверх