Поиск
?
Всего: 24 1–20 | 21–24
Добавить в вариант
координаты которых удовлетворяют равенству 
при 
где 
монотонно возрастает, значит, функция 
убывает: от −1 до 
на интервале 
и от 
до −1 на луче 
является областью значений и синуса и косинуса, то 
при 
не всегда равно a (типичная ошибка!), поскольку
). Поэтому равенство имеет место при 
где 
и ветви гиперболы 
то каждое из уравнений данной системы задает параболу с фиксированной вершиной. На рисунках изображены параболы для «очень отрицательного» значения a, когда система решений не имеет, и «очень положительного», когда ясно, что решений четыре (можно использовать непрерывность функций 
и характер их монотонности). Если 
то из симметричности картинки ясно, что возможные точки пересечения лежат на прямой 
и 
Таким образом, похоже, что при 
система имеет одно решение (параболы касаются), а если 
то два. Случай 
несколько более загадочен. Опять-таки ясно, что при 
система имеет четыре решения, но что происходит, если 
Оказывается, параболы могут пересечься в четырех точках (см. рис.). Проделаем вычисления. Вычитая первое уравнение системы из второго, получаем 
откуда 
(этот случай был разобран), или же 
В последнем случае приходим к уравнению 
в котором удобно сделать замену 
Полученное уравнение 
имеет решение при 
Заметим, что если 
то 
и 
то 
имеет ровно два решения.
при 
приводит к уравнению 
откуда 
Корнями последнего уравнения являются числа 2 и 
Поскольку функция 
возрастающая, а 
то отсюда и следует ответ.
одно — при 
(см. рис.).
то графики правой и левой частей данного уравнения выглядят так, как показано на рисунке. Строгое доказательство приведено в Дополнении.
тогда 
отсюда 
б) При каких значениях параметра a площадь фигуры будет наибольшей?
и 
Найдём их точки пересечения, для чего решим уравнение 
или 
Следовательно, система имеет решения при 
(см. левый рис.).
и 
(см. правый рис.).
Найдём координаты точки А: для этого решим систему: 
то есть при 
б) 
имеет положительное решение.
Наименьшее значение a, при котором это справедливо это 
отсюда 
на промежутке 
функция g(x) возрастает, на промежутке 
—
принимает все значения из промежутка (0; 16], поскольку 
а функция 
возрастает в этом промежутке. Для нахождения множества значений функции 
достаточно найти множество значений функции g(x) на промежутке (0; 16]. На указанном промежутке g(x) принимает все значения из множества 
и 
положительно.
и 
отрицательно.
(x° обозначает угол в x градусов).
определены, эквивалентно равенству 
откуда 
где 
Следовательно, разность 
делится нацело на 45, а значит, на 5 и на 9. Поскольку сумма всех цифр делится на 9, то каждое из чисел x и y делится на 9. Наибольшее пятизначное число, все цифры которого различны, равно 98 765. Ближайшее к нему меньшее число, делящееся на 9, равно 98757 и содержит повторяющиеся цифры. Последовательно уменьшая это число на 9, получаем числа 98 748, 98 739, 98 730, 98 721. Первые два из них также содержат повторяющиеся цифры. Третье состоит из различных цифр, но поскольку 
то его тангенс не определён. Число 
также состоит из различных цифр. Если взять, например, 
то получим 
касается прямой 
Доказать, что все такие функции имеют одно и то же минимальное значение. Найти это значение (в виде числа).
и прямой 
равносильно тому, что квадратное уравнение
и равно
: ещё 2 балла.
где x, y принимают произвольные значения из интервала [0, 1].
тогда 
Полученное выражение равно 0 при 
или 
или 
Следовательно, в области 
функция 
положительна ниже (или правее) прямой 
и тут достигается её максимум, и отрицательна — выше (или левее) этой прямой и тут достигается её минимум.
При каждом фиксированном 
квадратный трёхчлен 
принимает минимальное значение, равное 
при 
следовательно, минимальное значение всего выражения достигается при 
и равен 
Максимум же квадратного трёхчлена 
достигается на его конце при 
(значение на другом конце 
равно 0), и равен 
Следовательно, максимум 
не превосходит максимума трёхчлена 
который достигается при 
из интервале 
и равен 
максимальное значение — 
и 
—
существует тогда и только тогда, когда уравнение 
имеет при данном значении параметра а хотя бы одно решение. Раскрывая скобки, приводя подобные и сокращая на 
получим квадратное уравнение 
которое разрешимо при 
откуда 
Следовательно, длина искомого отрезка не превосходит 2. При 
решением уравнения является 
откуда следует, что длина 2 достигается для отрезка с концами (−1, 0) и (1, 0) на графике функции 
Находим его корни 
и положительна при 
Её производная, равная.
и равно 
Действительно, в данном случае отрезок длины 2 соединяет на оси OX два корня 
и 
уравнения 
где p, q — некоторые коэффициенты. На какую наименьшую величину может отличаться наибольшее значение функции 
от наименьшего значения этой функции на отрезке [2; 6].
наибольшее значение от наименьшего будет отличаться не менее, чем на четыре (это можно показать графически). Подбирая q, получим, что наибольшее значение модуля от наименьшего отличается не более, чем на два. 
где a, b — некоторые коэффициенты. На какую наименьшую величину может отличаться наибольшее значение функции 
от наименьшего значения этой функции на отрезке [−1; 5].Для каждого a, при которых уравнение 
имеет три различных действительных корня, обозначим через 
эти корни, упорядоченные по убыванию 
Выясните, при каком из этих a выражение 
принимает наибольшее возможное значение. Ответ при необходимости округлите до двух знаков после запятой. Если таких a найдется несколько, то в ответе укажите их сумму.
Три решения 
будут тогда и только тогда когда прямая 
будет иметь три точки пересечения с графиком функции 
Найдём производную 
начиная со знака плюс на 
то локальный минимум 
и только при них уравнение 
будет иметь три различных решения. Введём обозначения 
и 
Следовательно, переменные u и v — решения квадратного уравнения: 
для этого вычислим производную и приравняем к нулю: 
при условии, что 
Откуда 
а из вида производной следует, что 
Substituting this expression for x into the other equations yields 
is the smallest, and so we consider it first. If 
наша система принимает вид 
has at least one solution.
Let us consider function 
the derivative is positive, and for 
it is negative. Therefore, 
is a minimum for 
So, for positive values of x our function takes values from 
All in all, range of f(x) is 
It is only left to notice that the given equation has solutions only for such values of p that belong to the range of f(x). Thus the largest negative value of p is −432.
она отрицательна. Следовательно, 
точка минимума функции 
Окончательно получаем, что множество значений f(x) — это 
Остаётся заметить, что данное уравнение имеет решение для тех и только тех значений p, которые принадлежат множеству значений f(x). Таким образом, наибольшее отрицательное значение p равно −432.
наибольшее расстояние между корнями уравнения 
принимает наименьшее значение? Найдите это наименьшее значение.
либо 
и 
либо 
и 
либо (при 
и 
Таким образом, данное уравнение имеет на интервале 
два или три различных корня (второй корень не может совпадать с третьим, так как 
и 
имеют разные знаки при любом 
в силу нечётности арктангенса). 
Тогда остаётся два корня 
и 
Тогда разность между корнями 
больше, чем 
Тогда разность между корнями 
больше, чем 
при 
Найдите корни уравнения при указанном значении параметра. В ответе запишите сумму полученных корней уравнения, деленную на π.
так как он всегда положителен, то 
произведение полученных двух косинусов отрицательно. Проверим выполнение неравенств: 
будет находиться 4 корня, если 
только три корня лежат в указанном интервале 
Сумма полученных корней 3π.
уравнение 
тогда исходное уравнение примет вид 
Дискриминант уравнения 
следовательно, уравнение всегда имеет два корня разных знаков 
уравнение относительно косинуса имеет 2 различных корня (разных знаков). При этом на интервале 
только три корня лежат в указанном интервале 
При значениях параметра больше 
существует только косинус, принимающий положительные значения, и исходное уравнение будет иметь не более двух корней. Значит, условию задачи удовлетворяет только 
Сумма полученных корней 3π.Всего: 24 1–20 | 21–24
принимает наибольшее значение?
Дискриминант уравнения равен 
Этот отрезок целиком входит в промежуток возрастания функции f(a), следовательно, наибольшее значение достигается в крайней правой точке 