Всего: 7 1–7
Добавить в вариант
Изобразим осевое сечение цилиндра, вписанного в конус. Обозначим высоту цилиндра h, a радиус основания цилиндра r.
S(r) возрастает; при 
S(r) убывает, значит, 
На дне вертикального цилиндрического сосуда с радиусом основания R лежит шар радиуса r. В сосуд налита жидкость так, что ее поверхность является касательной к поверхности шара. Этот шар заменили другим — меньшего радиуса. Жидкость при этом не вылилась из сосуда и не доливалась в него. Оказалось, что новый шар лежит на дне цилиндра, а поверхность жидкости опять является касательной к поверхности шара. При каких значениях соотношения 
можно наблюдать такое явление при замене шара другим шаром меньшего радиуса?
Обозначим радиус второго шара ρ, тогда объем жидкости не изменится: 
и записав в виде 
то 
поэтому, решив неравенство 
получим: 
откуда 
На дне вертикального цилиндрического сосуда с радиусом основания R лежит шар радиуса r. В сосуд налита жидкость так, что ее поверхность является касательной к поверхности шара. Этот шар заменили другим — большего радиуса. Жидкость при этом не выливалась из сосуда и не доливалась в него. Оказалось, что новый шар лежит на дне цилиндра, а поверхность жидкости опять является касательной к поверхности шара. При каких значениях соотношения 
можно наблюдать такое явление при замене шара другим шаром большего радиуса?
тогда объем жидкости не изменится: 
(строго больше (!), иначе было бы невозможно взять шар с 
и 
получим: 
отсюда 
Рассмотрим всевозможные тетраэдры ABCD, в которых 
Каждый такой тетраэдр впишем в цилиндр так, чтобы все вершины оказались на его боковой поверхности, причём ребро CD было параллельно оси цилиндра. Выберем тетраэдр, для которого радиус цилиндра — наименьший из полученных. Какие значения может принимать длина CD в таком тетраэдре?
и 
Значит, отрезок AB перпендикулярен плоскости CDE, следовательно, 
Таким образом, 
лежит в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра (обозначим эту плоскость через 
Сечение цилиндра этой плоскостью — окружность, а AB является хордой этой окружности. Тогда радиус цилиндра минимален, если AB — диаметр. Отметим, что это возможно в силу того, что отрезки DE и CE длиннее, чем 
Действительно, из треугольников ACE и ADE следует, что 
и 
так как он вписан в окружность и опирается на её диаметр. 
в силу равенства треугольников ACH и BCH. Тогда 
По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках AHC и DHC соответственно: 
и 
то
Рассмотрим всевозможные тетраэдры ABCD, в которых 
Каждый такой тетраэдр впишем в цилиндр так, чтобы все вершины оказались на его боковой поверхности, причём ребро CD было параллельно оси цилиндра. Выберем тетраэдр, для которого радиус цилиндра — наименьший из полученных. Какие значения может принимать длина CD в таком тетраэдре?
Сечение цилиндра этой плоскостью — окружность, а AB является хордой этой окружности. Тогда радиус цилиндра минимален, если AB — диаметр. Отметим, что это возможно в силу того, что отрезки DE и CE длиннее, чем 
Угол 
и 
Тогда 
По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках 
и 
соответственно: 
A fly landed on the upper edge of a cylindrical mug (without a handle) and crawled down its outer wall at an angle to the vertical and horizontal. It turned out that the fly moved all the way to the table with constant vertical and angular velocities (the angular velocity in this situation is measured in an orthogonal projection on the surface of the table relative to the center of the projection of the mug). It also turned out that the fly made two full turns around the mug and touched the surface of the table exactly under the point from which it started its journey. Naturalist Kolya became interested in the trajectory of the fly and pasted a strip of sticky tape width 2 cm on top of the fly path so that the middle of the strip goes exactly along this path, cutting this strip along the upper and lower edges of the circle. Determine the area of the glued piece of sticky tape if the height of the circle is 7 cm, and the radius is 
cm.
Муха села на верхнюю кромку цилиндрической кружки (без ручки) и поползла по её наружной стенке вниз под углом к вертикали и горизонтали. Оказалось, что весь свой путь до стола муха перемещалась с постоянными вертикальной и угловой скоростями (угловая скорость в данной ситуации измеряется в ортогональной проекции на поверхность стола относительно центра проекции кружки). Также оказалось, что муха совершила два полных оборота вокруг кружки и коснулась поверхности стола в точности под точкой, из которой свой путь начала. Натуралист Коля заинтересовался траекторией перемещения мухи и наклеил полосу липкой ленты ширины 2 см поверх пути мухи так, что середина полосы идёт в точности по этому пути, обрезав эту полосу вдоль верхнего и нижнего краёв кружки. Определите площадь наклеенного куска липкой ленты, если высота кружки 7 cм, а радиус 
where l is the circumference of the bottom of the mug, that is, 
As you know, such a sheet can be rolled into a cylinder with a height of 7 and a radius of 
that is, just right to put a mug from the condition inside. Let's place this sheet so that the vertical seam (along which the opposite edges of this sheet of length 7 are combined) begins and ends, respectively, at the points of the beginning and end of the fly's path, they are just on the same vertical relative to the bottom of the circle. 
which is obtained by applying two copies of the wrapper along the seam. Thus, the length of the trajectory is equal to 
and the area of the adhesive tape is the length of the middle line of the parallelogram by the thickness of the parallelogram (that is, 2 cm). In tot al, the answer is 
cm2.
то есть как раз подходящим, чтобы поместить внутрь кружку из условия. Поместим этот лист так, чтобы вертикальный шов (вдоль которого совмещаются противоположные края этого листа длины 7) начинался и заканчивался соответственно, в точках начала и окончания пути мухи они как раз находятся на одной вертикали относительно дна кружки. 