Всего: 9 1–9
Добавить в вариант
Можно ли четырьмя плоскостями разрезать куб с ребром 1 на части так, чтобы для каждой из частей расстояние между любыми двумя ее точками было: а) меньше 
б) меньше 
Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.
и 
как показано на рисунке. Расстояние между любыми двумя точками прямоугольного параллелепипеда не превосходит его диагонали. Длины диагоналей всех 12 частей, на которые разрезан куб, равны 
имеют место неравенства 
и 
и 
уравнение равносильно 
а при 
равносильно 
Таким образом, исходная кривая состоит из двух окружностей. Она показана на рисунке, там же изображены возможные прямые, имеющие две точки касания с кривой.
Следовательно, 
Поэтому уравнения внешних касательных будут: 
то именно она и будет доставлять минимальное расстояние. Для справки уравнения двух внутренних касательных: 
при условии 
до точек с координатами 
и 
а геометрическое место решений уравнения 
на плоскости есть ромб 
и 
то задача равносильна поиску минимума суммы расстояний от точки, лежащей на указанном ромбе, до точек с координатами 
(см. левый рис.).
а точка 
симметрична точке F относительно прямой l. Тогда полу чаем 
лежит на стороне ромба. Сумм а расстояний от любой другой точки ромба до точек E и F превосходит 
Остаётся найти EF и расстояние между прямыми 
и 
Применяя теорему Пифагора, получаем 
Расстояние между прямыми равно расстоянию от начала координат до прямой 
(например, это следует из подобия прямоугольных треугольников), поэтому 
а именно, неравенство 
и 
можно найти сразу по формуле 
У Пети скопилось много кусочков пластилина трех цветов, и он плотно заполнил пластилином полый куб со стороной 5 см, так что в кубе не осталось свободного места. Докажите, что внутри куба найдутся две точки одного цвета на расстоянии ровно 7 см друг от друга.
где 
— ребро куба. Поскольку 
рассмотрим подобный тетраэдр с коэффициентом подобия 
то есть проделаем гомотетию с центром в центре куба и данным коэффициентом подобия. Получим четыре вершины нового тетраэдра внутри куба. Поскольку цветов у пластилина три, хотя бы две вершины этого тетраэдра будут одного цвета.В правильной четырёхугольной пирамиде ABCDS площадь основания совпадает с площадью боковой грани и равна 1. Точка M — точка пересечения медиан грани CDS. Точка N лежит на прямой AM и 
Найдите сумму расстояний от точки N до всех граней пирамиды.
Дана шестиугольная призма, основания которой — правильные шестиугольники ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 со стороной 
а боковые ребра перпендикулярны основаниям и равны 
Центры оснований — точки O и O1 соответственно; точка X — середина отрезка ОA, точка Y — середина O1C1.
Известно, что пчела проползла по поверхности этой призмы из точки X в точку Y по наикратчайшей траектории. Найдите длину этой траектории.
There is a hexagonal prism with the bases being regular hexagons ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 with sides а боковые ребра перпендикулярны основаниям и равны The centers of the bases are points O and O1 respectively; point X is a midpoint of segment OA, point Y is a midpoint of O1C1.
It is known that a bee crawled along the surface of the prism from point X to point Y by the shortest path. Find the length of this path.
высоту призмы равной 
Тогда 
В правильной четырёхугольной пирамиде ABCDS площадь основания совпадает с площадью боковой грани и равна 4. Точка M — точка пересечения медиан грани CDS. Точка N лежит на прямой AM и 
Найдите сумму расстояний от точки N до всех граней пирамиды.
Объём пирамида ABCDS равен 
Основанием пирамиды SABC служит равнобедренный треугольник ABC, причем 
и 
Высотой пирамиды SABC является отрезок SO, где O — точка пересечения прямой, проходящей через вершину B параллельно стороне AC, и прямой, проходящей через C перпендикулярно стороне AC. Найдите расстояние от центра вписанной в треугольник ABC окружности до плоскости, содержащей боковую грань BSC, если 
где 
Основанием пирамиды SABC служит равнобедренный треугольник ABC, причем 
Высотой пирамиды SABC является отрезок SO, где O — точка пересечения прямой, проходящей через вершину B параллельно стороне AC, и прямой, проходящей через C перпендикулярно стороне AC. Расстояние от центра вписанной в треугольник ABC окружности до плоскости, содержащей боковую грань BSC, равно 
Найдите квадрат объема пирамиды SABC.
и 
Расстояние от центра вписанной в треугольник ABC окружности до плоскости, содержащей боковую грань BSC обозначим d. Тогда 
В прямоугольном треугольнике BOC: 
тогда 
а значит высота равна
