Всего: 118 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Известно, что 
Найдите синус угла между диагоналями этого четырехугольника, если его площадь принимает наименьшее возможное значение при данных условиях.
— отрезки, на которые диагонали делятся их точкой пересечения. Обозначим угол между диагоналями через 
По условию площади треугольников ABO и CDO равны, то есть 
Отсюда 
и, следовательно, треугольники BOC и AOD подобны по первому признаку подобия: две стороны 
и 
треугольника BOC пропорциональны двум сторонам 
и 
треугольника AOD, а углы, образованные этими сторонами 
и 
равны. Пусть 
— коэффициент подобия треугольников BOC и 
Обозначим через S площади треугольников ABO и CDO (по условию 
Тогда 
и 
В итоге, площадь четырехугольника ABCD может быть представлена в виде:
минимальное значение выражения 
достигается при 
Значит, 
и 
то есть диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому ABCD — параллелограмм. Его площадь 
(1)
Дан правильный треугольник ABC со стороной 2. Точка K лежит на продолжении стороны AC за точку A, точка N лежит на прямой, параллельной прямой AC и проходящей через точку B, причем |AK| = 2, |BN| = 1. Рассматриваются такие ломаные KLMN, что точка L лежит на стороне AB, точка M лежит на стороне BC, а отрезок LM параллелен стороне AC. Найдите наименьшее возможное значение суммы |KL| + |MN|, если |AN| > |CN|.
Дана бесконечная последовательность многоугольников 
Фигура F1 — это равносторонний треугольник со стороной 1. Пятиугольник F2 получается из треугольника F1 построением на его стороне равностороннего треугольника со стороной 
как показано на рисунке. Семиугольник F3 получается из пятиугольника F2 построением на его стороне длины 
равностороннего треугольника со стороной 
и так далее. На каждом шаге строится треугольник, сторона которого в два раза меньше стороны треугольника, построенного на предыдущем шаге.
Докажите, что периметр каждой из рассматриваемых фигур не превышает 4.
Дан треугольник 
На стороне AC выбирают точку Q таким образом, чтобы длина отрезка MK, где M и K — основания перпендикуляров, опущенных из точки Q на стороны AB и AC соответственно, оказалась минимальной. При этом 
Найдите площадь треугольника ABC.
Четырехугольник MBKQ вписан в окружность, и BQ ее диаметр. По формуле для радиуса описанной около треугольника MBK окружности имеем:
Найдем площадь треугольника ABQ, читая пока h известной величиной. 
то из (1) следует, что 
Найдем MK из треугольника MQK (в нем 
по теореме косинусов:
На первом шаге на листе бумаги была изображена единичная окружность и ограниченный ею круг закрашен черной краской. На каждом из последующих шагов для каждой из окружностей, изображенных на предыдущем шаге, рисуются четыре новые внутренне касающиеся ее окружности равных радиусов. Эти четыре окружности внешне касаются друг друга. Круги, ограниченные новыми окружностями, закрашиваются белой краской, если номер шага четное число, или черной краской, если номер шага нечетен. На рисунке изображен результат трех шагов. Описанный процесс продолжается до бесконечности. Найдите площадь белой области.
Таким образом, площадь белой области есть сумма:
и 
Назовем положительное число a близким сверху положительному числу b, если a превосходит b, но не больше чем на 1%. Докажите, что если в треугольнике радианная мера одного из углов близка сверху к радианной мере другого угла, то найдутся две стороны этого треугольника такие, что длина одной из них близка сверху к длине другой.
близка сверху радианной мере угла 
то есть 
Покажем, что длина стороны a близка сверху длине стороны b. Поскольку напротив большего угла лежит большая сторона, достаточно доказать, что 
В силу убывания функции 
(школьники должны доказать это*), получаем: 
то 
По теореме синусов 
откуда 
:
Следовательно, функция 
убывает на отрезке 
на отрезке 
Тогда
Тогда 
По условию задачи 2hc = ka, 2hb = kb, 2ha = kc, где — коэффициент подобия. Следовательно,
тогда
На стороне AC правильного треугольника ABC отмечена точка K, такая что AK : KB = 1 : 2. На стороне BC отметили точку L, а на стороне AC — точку M, так что сумма длин KL + LM + MB минимальна. Найдите отношение CM : MA.
и 
Затем отразим точку B относительно 
и получим 
и 
лежат на одной прямой. По теореме Фалеса (или по теореме о средней линии треугольника) 
поэтому 
а) Докажите, что если каждая из диагоналей четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника, то этот четырехугольник параллелограмм.
б) Найдите наибольшую площадь тени при ортогональной проекции на плоскость правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна единице, а плоские углы при вершине прямые.
в) Докажите, что если 
то по крайней мере один из квадратных трехчленов 
i = 1, 2, имеет действительный корень.
то точки B и D расположены на одинаковом расстоянии от прямой AC, следовательно, середина диагонали BD лежит на AC. Аналогично, середина AC лежит на BD. Таким образом, точка пересечения обеих диагоналей делит каждую из них пополам. 
лучше посмотреть, что представляет из себя проекция данной пирамиды. Возможны два случая. В первом из них проекция является треугольником — проекцией одной из граней пирамиды, во втором она — четырехугольник, диагоналями которого являются проекции некоторых двух ее скрещивающихся ребер. Ясно, что в первом случае площадь проекции наибольшая, если мы проектируем нашу пирамиду на плоскость, параллельную той ее грани, которая имеет наибольшую площадь; в нашем случае это основание пирамиды и ее площадь 
Второй случай более интересен. Площадь четырехугольника равна 
где d1, d2 — это длины его диагоналей, а 
поэтому произведение всех этих величин не 
что меньше, чем 
а) Докажите, что если каждая из средних линий четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника, то этот четырехугольник параллелограмм.
б) Найдите наибольшую площадь тени при ортогональной проекции на плоскость правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна единице, а боковое ребро — двум.
в) Докажите, что если 
(i = 1, 2, 3), то
причем B лежит между A и E, а C лежит между E и D (если продолжения сторон пересекаются с другой стороны четырехугольника, переобозначим вершины). Пусть также M — середина AB, N — середина CD, 
По условию 
и 
тогда
отсюда
а площадь боковой грани меньше 
(поскольку апофема не больше бокового ребра).
Введем квадратные трехчлены 
Так как по условию 
и 
то 
при всех 
Значит, 
а) Решите неравенство 
б) Найдите все a, при которых уравнение 
не имеет решений на отрезке 
в) Найдите наименьшее расстояние между диагональю прямоугольного параллелепипеда с ребрами
г) Найдите наибольшую площадь четырехугольника, длины последовательных сторон которого равны
Поскольку на луче 
функции 
и 
— убывающие, то и функция f убывает на нем. Аналогично, f возрастает на луче 
Далее, 
а 
Таким образом, 
только при 
тогда и только тогда, когда 
или 
т. е. когда число а является значением на отрезке 
(при некотором 
) одной из функций 
или 
Графики этих функций изображены на рисунке, откуда и следует ответ.
— площадь трапеции. Пусть d — диагональ четырехугольника. Тогда 
так что 
а) Решите неравенство 
б) Найдите все a, при которых уравнение 
имеет решения на отрезке 
в) Найдите наименьшее расстояние между диагональю прямоугольного параллелепипеда с ребрами 4, 2, 4 см и не пересекающей ее диагональю его квадратной грани.
г) Найдите наибольшую площадь четырехугольника, длины последовательных сторон которого равны 2, 3, 4, 3 см.
При 
получаем 
функция 
Значит, подходят все 
где 
решим
а вторые — только при 
Кроме того, оба корня с минусом перед радикалом сразу отрицательны и их можно не учитывать, поскольку 
получим 
или 
или 
или 
Пусть, далее, 
По неравенству треугольника получим 
и 
и 
откуда 
Ясно, что любое такое x подходит — оба треугольника ABC и ADC удается построить и склеить по стороне AC. Применим тогда к каждому из них формулу Герона, получим
(поскольку функция 
монотонна при 
). Тогда нам нужно будет найти наибольшее значение функции 
при 
Возьмем ее производную
которое очевидно убывает. Значит, нужно найти его корень 
и тогда на промежутке 
производная будет положительна (а функция возрастать), а на промежутке 
производная будет отрицательна (а функция убывать), поэтому наибольшее значение функции будет при 
Решим уравнение
и x — корень уравнения 
и получить площадь 
— площадь трапеции.
найдите тот, площадь которого максимальна. Чему равна эта площадь?
состоит из дуг двух окружностей, из центра которых отрезок 
«виден» под углом 
Наиболее удаленные от отрезка точки этих других середины. Значит, искомый треугольник — равнобедренный, и его площадь равна 
найдите тот, площадь которого максимальна. Чему равна эта площадь?У Юры есть необычные часы с несколькими минутами стрелками, двигающимися в разных направлениях. Юра посчитал, что за один час минутные стрелки попарно совпали 54 раза. Какое наибольшее число минутных стрелок может быть на Юриных часах?
то есть 
Следовательно, n может быть равно 1, 3, 9 или 27. Наибольшая сумма 
получается при 
и 
(или наоборот) и равна 28.У Юры есть необычные часы с несколькими минутами стрелками, двигающимися в разных направлениях. Юра посчитал, что за один час минутные стрелки попарно совпали ровно 54 раза. Какое наименьшее число минутных стрелок может быть на Юриных часах?
