Всего: 29 1–20 | 21–29
Добавить в вариант
получим: 
и 
в квадрат и складывая, получаем уравнение 
что не уменьшает общности). 
3.1 Пусть сад имеет форму правильного треугольника со стороной 1. Докажите, что Георгию Константиновичу хватит ежей суммарной длиной 
а поскольку медианы делят друг друг в отношении 2 : 1, то суммарная длина отрезков медиан до точек пересечения равна 3.3 Пусть сад имеет форму правильного треугольника со стороной 1. Докажите, что Георгию Константиновичу придется купить ежей длиной хотя бы 1,29.
что чуть больше, чем 1,29.1.1 Пусть сад имеет форму правильного треугольника со стороной 1. Докажите, что Георгию Константиновичу хватит /ежей суммарной длиной
а поскольку медианы делят друг друг в отношении 2 : 1, то суммарная длина отрезков медиан до точек пересечения равна 
и соединить ее 
хорошо известно, что в ней достигается минимум суммы длин отрезков XB, XC 1.3 Пусть сад имеет форму правильного треугольника со стороной 1. Докажите, что Георгию Константиновичу придется купить ежей длиной хотя бы 1,29.
2.3 Пусть сад имеет форму правильного треугольника со стороной 1. Докажите, что Георгию Константиновичу придется купить ежей длиной хотя бы 
На каждой стороне правильного треугольника взято по точке. Каждая сторона треугольника с вершинами в этих точках перпендикулярна какой-либо стороне исходного треугольника. В каком отношении каждая из взятых точек делит сторону исходного треугольника? Каково отношение площадей исходного и образованного треугольников?
значит, треугольник KLM равносторонний. Прямоугольные треугольники AKM, BLK 
Аналогично, 
и 
Тогда сторона исходного треугольника равна 
а сторона вписанного 
то есть в 
раз меньше. Поскольку площади равносторонних треугольников относятся друг к другу, как квадраты сторон, то площадь вписанного будет в 3 раза меньше. 
где
Справедливы ли следующие утверждения:
а) Если для любой точки M внутри треугольника ABC из отрезков MA, MB и MC можно составить треугольник, то ABC равносторонний?
б) Для любой точки M внутри равностороннего треугольника ABC из отрезков MA, MB и MC можно составить треугольник?
Если M совпадает с точкой A, то 
Возьмем точку D внутри треугольника ABC, чтобы она лежала внутри круга радиуса dc центром в точке A. Тогда 
и 
Поэтому 
Тогда треугольник 
равносторонний (так как 
и 
Стороны треугольника 
равны отрезкам MA, MB и MC. Действительно, 
а 
(при повороте отрезок MA занимает положение 
что и требовалось доказать. Другой способ решения основан на двух неравенствах: 
и 
где a — сторона треугольника.
Тогда 
и 
Применяя теорему косинусов к треугольникам AOM, BOM и COM, получаем 
постоянна и равна 6R2 независимо от положения точки M на окружности. Что и требовалось доказать.
Тогда, 
угол между ОM и CO равен 
Учитывая, что 
получим
На стороне АС равностороннего треугольника АВС как на диаметре во внешнюю сторону построен полукруг, разделенный точками Р и Q на три равных дуги. Докажите, что точки пересечения M и N стороны АС с отрезками ВР и ВQ соответственно делят АС на три одинаковых отрезка.
Углы ОАР и ОСB равны 60 градусам, поэтому отрезки АP и ВС параллельны, следовательно, четырёхугольник АРCB — трапеция и треугольники AMP и ВМС подобны с коэффициентом 
длины AC. Аналогично и длина CN равна 
Следовательно, точка М делит отрезок НО в отношении 
поэтому длина НM равна трети от НО, то есть 1. Значит, длина АM равна сумме длин 
и 
то есть 4. Аналогично 
значит, и 
что и требовалось доказать.
3 балла.
и 
градусов соответственно, поэтому треугольники МСН и МСВ равны по сторонам 
и углам 
между ними. B частности, 
и 
поэтому треугольники МАB и CAB равны по сторонам 
и 
и углам MAB и CAP между ними. Следовательно, равны и их третьи стороны МВ и CP, то есть 
что и требовалось доказать.
Координаты точек М и Н в таком случае равны
и 
Координаты точки T — середины гипотенузы АВ равны 
а вектор ТР перпендикулярен вектору 
и в 
раз короче его, поэтому имеет координаты 
Следовательно, вектор СР имеет координаты 
равную длине вектора МH, что и требовалось доказать.
или 
3 балла. B координатном и тригонометрических решениях наличие любых ошибок, кроме простейших арифметических в конце вычислений: 0 баллов. При наличии простейших арифметических ошибок: снимаем 1−2 балла.
имеем 
и 
Следовательно, треугольники AQS и BRP равны по парам paвных сторон 
и углам между ними. Обозначим точку пересечения отрезков PR и QS за K. Тогда 
в таком случае 
Следовательно, сумма углов РАS и РKS тоже равна 180°, то есть угол PKS равен 120°. Отсюда угол RKS между отрезками PR и QS равен 
что и требовалось доказать.На отрезке АВ отмечена произвольная точка М, отличная от А и В. С одной стороны от прямой АВ выбрана точка С, а с другой — точки D и E такие, что треугольники АВС, АМD и МВЕ являются равносторонними. Обозначим через P, Q, R точки пересечения медиан треугольников АВС, АМD и МВЕ соответственно. Доказать, что: а) треугольник PQR — равносторонний, б) точка пересечения медиан треугольника PQR лежит на отрезке АВ.
и 
поэтому 
Следовательно, QT = BR, PT = PB и треугольники QTP и RBP равны по углам 
и парам прилегающих к ним сторон. Кроме того, угол между соответственными сторонами PT и PB тоже равен 60°, значит, треугольник QTP получается из треугольника RBP поворотом относительно вершины Р на 60° по часовой стрелке. Следовательно, стороны QP и RP треугольника PQR равны и угол QPR между ними составляет 60°, значит, оставшиеся два угла также равны 60°, треугольник PQR — равносторонний.
а длины медиан, проведенных к этим сторонам, ma, mb, mc соответственно. Тогда по условию задачи 
В трапеции KLMN с основанием KN и LN известен угол LMN, равный 60°. Около треугольника KLN описана окружность, касающаяся прямых LM и MN. Найдите радиус окружности, если известно, что периметр треугольника KLN равен 12.
и 
Достроим четырёхугольник ABCD до равностороннего треугольника ADE (см. рис.). Из равенства треугольников DEB и ADC, AEC и DAB следует, что 
и 
Откуда следует, что 
Условие существования вписанной окружности в четырёхугольник ABCD принимает вид: 
что равносильно 
Выполнения которого невозможно в силу того, что 
вытекает из теоремы косинусов в треугольнике BEC или 
Поскольку
Точка P — середина EF. Докажите, что угол KPC прямой.
Тогда FCET — параллелограмм, откуда TE равно и параллельно FC. Но тогда треугольники TEK и KBC равны по первому признаку: тупые углы у них равны 
и соответствующие стороны при этих углах равны. Следовательно, треугольник ТКС равнобедренный и его медиана KP является высотой.
Значит, 
Треугольники EAL и CLK также равны, поэтому 
Следовательно, 
и 
). Но тогда KPC — половина равностороннего треугольника, откуда угол KPC прямой.