Всего: 26 1–20 | 21–26
Добавить в вариант
Докажите, что 
Стороны a, b, c лежат соответственно напротив углов α, β, γ.
Найдем на отрезке AB точку D такую, что 
Тогда треугольник ACD равнобедренный и 
Значит, 
и треугольники BCD и ABC подобны. Имеем 
или 
откуда следует искомое соотношение.От домика Тофслы и Вифслы отходят 6 прямых дорог, разделяющих окрестное круглое поле на 6 равных секторов. Тофсла и Вифсла отправляются в путешествие из своего домика в центре поля со скоростью 5 км/ч случайно независимо друг от друга выбрав себе дорогу, по которой идти. С какой вероятностью расстояние между ними через час составит более 7 км?
км и 10 км соответственно для выбора одной дороги, двух соседних, двух, расходящихся под углом 120° и противоположных. Превышают 7 расстояния 10 и 
Расстояние 10 получается в 6 случаях, расстояние 
От домика Тофслы и Вифслы отходят 6 прямых дорог, разделяющих окрестное круглое поле на 6 равных секторов. Тофсла и Вифсла отправляются в путешествие из своего домика в центре поля со скоростью 5 км/ч случайно независимо друг от друга выбрав себе дорогу, по которой идти. С какой вероятностью расстояние между ними через час составит более 7 км?
а величина угла ВРС равна 
величина ОСВ, как угла при основании равнобедренного треугольника ОСВ с углом 
при вершине О, равна 
Считаем их разность: 
и 
соответственно, а величина угла ВРС равна 
Однако, если бы точка Р лежала на описанной окружности треугольника АВС, то четырёхугольник АВРС был бы вписанным и сумма его противоположных углов ВАС и ВРС равнялась бы 
откуда А = 180 градусов, что невозможно.В треугольнике АВС взята точка Р такая, что сумма углов РВА и РСА равна сумме углов РВС и РСВ. Докажите, что расстояние от вершины А до точки Р не меньше расстояния от А до точки I — центра вписанной в АВС окружности, и если эти расстояния равны, то Р совпадает с I.
Могут ли в некотором остроугольном треугольнике АВС точки пересечения биссектрисы угла А, высоты, проведённой из вершины В и медианы, проведённой из вершины С являться вершинами невырожденного равностороннего треугольника?
и 
Серединный перпендикуляр к отрезку PQ пересекает биссектрису угла C в точке R (внутри треугольника). Докажите, 
и 
поэтому треугольники ACI и API равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, 
и 
Стало быть, 
и точка I лежит на серединном перпендикуляре к отрезку PQ. Но тогда она совпадает с точкой R, поскольку является точкой пересечения тех же прямых. Torда 
Квадрат разбит на 2016 треугольников, причем вершины никакого треугольника не лежат на сторонах или внутри другого треугольника. Стороны квадрата являются сторонами некоторых треугольников разбиения. Сколько всего точек, являющихся вершинами треугольников, находится внутри квадрата?
градусов.
и 
где 
Найдите углы треугольника, образованного вершинами этих равнобедренных треугольников.
Следовательно, угол XCY будет равен 
Откуда получаем, что 
и 
Посмотрим на 
по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, 
и 
Осталось заметить, что 
по трем сторонам, поэтому 
В итоге мы получили 
и 
тогда сторона противолежащая этому углу равна c, а высота проведённая к одной из прилежащих сторон равна 
Рассмотрим два случая, которые возможны в этой задаче. 
и 
B треугольнике BHC: 
тогда 
значит,
—
и 
В треугольнике AOC: 
—На сторонах АВ и АС треугольника АВС выбраны соответственно точки М и Р такие, что отрезок РМ параллелен стороне ВС. Из точки М восстановлен перпендикуляр к прямой АВ, а из Р восстановлен перпендикуляр к АС, их точку пересечения обозначена за Т. Доказать, что точки А, Т и О — центр описанной окружности треугольника АВС — лежат на одной прямой.
и РMT равны, как опирающиеся на общую хорду РТ. А угол РМТ равен углу РMB минус 90 градусов, С учётом параллельности МР и ВС, 
следовательно, 
и 
минус 90 градусов: 1 балл. Равенство 
1 балл. Не рассмотрен случай, когда величина угла АВС больше 90 градусов: снимаем 1 балл.
и 
градусов соответственно, поэтому треугольники МСН и МСВ равны по сторонам 
и углам 
между ними. B частности, 
и 
поэтому треугольники МАB и CAB равны по сторонам 
и 
и углам MAB и CAP между ними. Следовательно, равны и их третьи стороны МВ и CP, то есть 
что и требовалось доказать.
Координаты точек М и Н в таком случае равны
и 
Координаты точки T — середины гипотенузы АВ равны 
а вектор ТР перпендикулярен вектору 
и в 
раз короче его, поэтому имеет координаты 
Следовательно, вектор СР имеет координаты 
равную длине вектора МH, что и требовалось доказать.
или 
3 балла. B координатном и тригонометрических решениях наличие любых ошибок, кроме простейших арифметических в конце вычислений: 0 баллов. При наличии простейших арифметических ошибок: снимаем 1−2 балла.
имеем 
и 
Следовательно, треугольники AQS и BRP равны по парам paвных сторон 
и углам между ними. Обозначим точку пересечения отрезков PR и QS за K. Тогда 
в таком случае 
Следовательно, сумма углов РАS и РKS тоже равна 180°, то есть угол PKS равен 120°. Отсюда угол RKS между отрезками PR и QS равен 
что и требовалось доказать.
и 
Тангенс угла C подсчитаем по формуле суммы тангенсов: 
Из условия 
следует, что отрезок A'C' равен радиусу построенной окружности. Значит, дуга, стягиваемая хордой A'C', составляет 60°. Отсюда угол C'CA', опирающийся на эту дугу, равен 30°.
(см. левый рис.); если же угол B — тупой, то 
(см. правый рис.), и, значит, 