Всего: 62 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–62
Добавить в вариант
На окружности с центром O расположим шестёрку точек P1, . . . , P6. Назовём шестёрку интересной, если 
и все углы ∠PiOPj целые в градусах. Назовём шестёрку скучной, если она переводится в себя отражением от точки O или поворотом вокруг O на 120°. Существуют ли интересные нескучные шестёрки точек на окружности?
Рассмотрим две различные точки P5 и P6, такие что ∠P0OP5 = ∠P0OP6 = 60°. Тогда 
отсюда 
Углы между соседними векторами 
для i = 1, . . . , 6 равны 12°, 72°, 120°.Фонари располагаются на плоскость, освещая все точки угла южнее и западнее себя. (То есть фонарь в точке с координатами (a, b) освещает точки (x, y) с координатами 
) На плоскость уже выставили 2018 синих фонарей, поместив их в различные точки. Можно ли дорасставить на плоскости 2017 красных фонарей, так что любая точка плоскости, освещённая ровно k > 0 синими фонарями, будет освещена ровно k − 1 красным фонарём? (Красные фонари можно располагать в точки, занятые другими фонарями, предполагая, что это не мешает освещению).
Фонари располагаются на плоскость, освещая все точки угла южнее и западнее себя. (То есть фонарь в точке с координатами (a, b) освещает точки (x, y) с координатами ) На плоскость уже выставили 2018 синих фонарей, поместив их в различные точки. Можно ли дорасставить на плоскости 2017 красных фонарей, так что любая точка плоскости, освещённая ровно k > 0 синими фонарями, будет освещена ровно k − 1 красным фонарём? (Красные фонари можно располагать в точки, занятые другими фонарями, предполагая, что это не мешает освещению).
Мистер A час простоял в точке с координатами (0, 0). За этот же час, двигаясь равномерно и прямолинейно, мистер B дошел от точки (22, 0) до точки (2, 20). За этот же час мадемуазель C, тоже двигавшаяся равномерно и прямолинейно, прошла от точки (30, 4) до точки (0, 24). Сколько раз за указанный период наблюдения принимала целые значения площадь треугольника ABC? Начальный и конечный момент включаются.
и 
равна 
Если точка 
движется равномерно и прямолинейно, то ее координаты зависят от времени t как 
Тогда величина 
как функция от t является многочленом второй степени. Выберем ось времени так, чтобы ноль был в середине отрезка наблюдения, а начальный и конечный моменты имели координаты −1 и 1 соответственно. Обозначим 
Координаты точек B и C в середине отрезка наблюдения легко считаются, это (12, 10) и (15, 14) соответственно. Итак, 
попал на отрезок наблюдения, кроме того он положителен, то есть модуль равен выражению под модулем. Итого, искомая площадь сначала уменьшалась от 44 до 8, потом росла от 8 до 24, таким образом принимая целые значения 
раза.
На плоскости дан набор точек, известно что любые три можно параллельным переносом переместить в квадрат с вершинами
иначе две крайние точки нельзя переместить в указанный квадрат. Затем проведём горизонтальные прямые через самую верхнюю и самую нижнюю точки. Аналогично расстояние между ними не больше 
На плоскости дан набор точек, известно что любые три можно параллельным переносом переместить в прямоугольник с вершинами
По воде вокруг поплавка против часовой стрелки по двум окружностям скользят водомерка и жук-плавунец. На поверхности воды введена прямоугольная система координат, в которой поплавок (общий центр окружностей) находится в точке (0; 0). Скорость водомерки в два раза больше скорости жука. В начальный момент времени водомерка и жук находятся в точках 
и 
с соответственно. Определите координаты всех положений жука, при которых расстояние между насекомыми будет кратчайшим.
и 
соответственно, где 
и β — углы, которые образуют радиус-векторы точек M и N с положительным направлением оси абсцисс. Заметим, что угол между 
и 
равен π, и при этом 
где 
— углы, соответствующие начальным расположениям насекомых.
и 
равен нулю. Поскольку 
—
то угловая скорость водомерки в 5 раза больше угловой скорости жука.
Тогда 
Следовательно, 
Для 
получаем 
Координаты положения жука найдём по формулам 
и 
Используя координаты точки 
находим 
и 
вокруг начала координат на углы 
π, 
и имеют, соответственно, координаты 
Вокруг крючка с червяком в одной плоскости с ним по двум окружностям плавают карась и пескарь. В указанной плоскости введена прямоугольная система координат, в которой крючок (общий центр окружностей) находится в точке (0; 0). В начальный момент времени карась и пескарь находятся в точках 
и 
соответственно. Скорость карася в два с половиной раза больше скорости пескаря, оба двигаются по часовой стрелке. Определите координаты всех положений пескаря, при которых расстояние между рыбами будет кратчайшим.
где 
и 
—
то угловая скорость карася в 5 раза больше угловой скорости пескаря. Пусть к моменту совпадения направления векторов 
по часовой стрелке. Тогда 
где 
Следовательно, 
Координаты положения пескаря найдём по формулам 
и 
Используя координаты точки 
и 
−π, 
и имеют, соответственно, координаты 
На столе лежит кусочек сахара, вокруг которого по двум окружностям с одной и той же скоростью ползают муравей и жук. На плоскости стола введена прямоугольная система координат, в которой сахар (общий центр окружностей) находится в точке
и 
и 
— углы, соответствующие начальным расположениям насекомых. 
—
Следовательно, 
Для 
и 
Остальные точки получаются поворотом точки 
и имеют, соответственно, координаты 
и 
Вокруг птичьей кормушки в одной плоскости с ней по двум окружностям с одинаковой скоростью летают синица и снегирь. В указанной плоскости введена прямоугольная система координат, в которой кормушка (общий центр окружностей) находится в точке O(0; 0). Синица двигается по часовой стрелке, а снегирь — против. В начальный момент времени синица и снегирь находятся в точках 
и 
соответственно. Определите координаты всех положений снегиря, в которых расстояние между птицами будет кратчайшим.
и 
— углы, соответствующие начальным расположениям птиц. 
и 
— это радиусы окружностей, и 
Тогда 
Следовательно, 
Для 
и 
Остальные точки получаются поворотом точки 
и имеют, соответственно, координаты 
и 
и 
Возможны два варианта.
и 
разделяют плоскость. Рассмотрим «левую нижнюю» вершину (её местоположение однозначно определяет остальные вершины). Для того, чтобы координаты всех вершин квадрата оказались неотрицательными, необходимо и достаточно, чтобы эта вершина попала в квадрат 
и 
Получаем 
способов. Общее количество способов равно 
На координатной плоскости рассматриваются квадраты, все вершины которых имеют натуральные координаты, а центр находится в точке (55; 40). Найдите количество таких квадратов.
и 
Возможны два варианта.
и 
разделяют плоскость. Рассмотрим «левую нижнюю» вершину (её местоположение однозначно определяет остальные вершины). Для того, чтобы координаты всех вершин квадрата оказались натуральными, необходимо и достаточно, чтобы эта вершина попала в квадрат 
и 
Получаем 
способов. Общее количество способов равно 
Для дальнейшего решения несущественно, какое из чисел A и B больше: возможно и равенство. Независимо от этого отрезок, ограниченный числами A и B, будем обозначать AB (в случае 
он вырождается в точку). 
пересекается (хотя бы по одной точке) с отрезком АB. Действительно, если для какого-то отрезка 
это не так, то он расположен либо целиком слева, либо целиком справа от AB. В первом случае 
но это противоречит определению числа B как наименьшего из 
во втором случае 
но и это аналогичным образом невозможно. Точно так же можно спроецировать прямоугольники н вертикальную ось, получив отрезки 
Мы обнаружим, что если 
то каждый отрезок пересекается с отрезком CD.
из предыдущего рассуждения). 
т. е. не меньше 64) правая координата не меньше A1 левая не больше B, верхняя не меньше C, а нижняя не больше D. 
Аналогично доказывается, что он пересекает прямые 
Очевидно, из этого следует что он содержит все четыре точки (A, C), (A, D), (B, C), (B, D). Требуемый прямоугольник найден.Необходимо построить дорогу, вымощенную бетонными плитами. Она пройдет в местности, где есть прямолинейный участок линии электропередач (ЛЭП) и завод по производству плит, находящийся на расстоянии d от ЛЭП 
Для ритмичной работы требуется, чтобы каждая точка строящейся дороги была одинаково удалена от завода и от ЛЭП.
А) Введите систему координат так, чтобы кирпичный завод имел координаты (0, 0), а ЛЭП проходила через точку (0, d) параллельно одной из координатных осей, и найдите координаты точек на дороге, удаленной от завода на расстояние 5d.
Б) Для каких натуральных n на такой дороге существует точка, удаленная от завода на расстояние nd?
Заметим, что строящаяся дорога будет находиться ниже этой прямой, (в полуплоскости 
—
есть 
Это расстояние равно расстоянию между точкой M и ЛЭП, которое составляет 
Из двух решений полученного уравнения выбираем то, которое удовлетворяет условию 
Таким образом, 
Осталось решить уравнение 
Такое решение всегда существует и равно 
Далее получаем уравнение 
при любом натуральном n.
таких, что числа 3x, 2y и 
являются длинами сторон некоторого треугольника. Постройте фигуру M и найдите её площадь.
Выразите вектор 
через 
и 
тогда из условия симметрии точек A, B, C, D и Е следует, что 
Решим полученное однородное уравнение и получим 
через 
то получаем ответ 
через 
тогда из условия симметрии точек A, B, C, D и Е следует, что 
через 
то получаем ответ 
n > 2, A1(19; 45), A2(20; 20), 
Найдите площадь A2020A1945A75.
а прямая AB проходит через точку M(1; 0)?
и 
где
следовательно, 
Прямая AB проходит через точку M, ее уравнение 
Выразим переменные a и b через параметр k, подставляя координаты точек A и B в уравнение прямой AB: 
то 
при 
