Всего: 28 1–20 | 21–28
Добавить в вариант
На окружности с центром O расположим шестёрку точек P1, . . . , P6. Назовём шестёрку интересной, если 
и все углы ∠PiOPj целые в градусах. Назовём шестёрку скучной, если она переводится в себя отражением от точки O или поворотом вокруг O на 120°. Существуют ли интересные нескучные шестёрки точек на окружности?
Рассмотрим две различные точки P5 и P6, такие что ∠P0OP5 = ∠P0OP6 = 60°. Тогда 
отсюда 
Углы между соседними векторами 
для i = 1, . . . , 6 равны 12°, 72°, 120°.
— единичные векторы в пространстве. Докажите, что 
то
которое вытекает из неравенства треугольника 
где необходимо положить 
По воде вокруг поплавка против часовой стрелки по двум окружностям скользят водомерка и жук-плавунец. На поверхности воды введена прямоугольная система координат, в которой поплавок (общий центр окружностей) находится в точке (0; 0). Скорость водомерки в два раза больше скорости жука. В начальный момент времени водомерка и жук находятся в точках 
и 
с соответственно. Определите координаты всех положений жука, при которых расстояние между насекомыми будет кратчайшим.
и 
соответственно, где 
и β — углы, которые образуют радиус-векторы точек M и N с положительным направлением оси абсцисс. Заметим, что угол между 
и 
равен π, и при этом 
где 
— углы, соответствующие начальным расположениям насекомых.
и 
равен нулю. Поскольку 
—
то угловая скорость водомерки в 5 раза больше угловой скорости жука.
Тогда 
Следовательно, 
Для 
получаем 
Координаты положения жука найдём по формулам 
и 
Используя координаты точки 
находим 
и 
вокруг начала координат на углы 
π, 
и имеют, соответственно, координаты 
Вокруг крючка с червяком в одной плоскости с ним по двум окружностям плавают карась и пескарь. В указанной плоскости введена прямоугольная система координат, в которой крючок (общий центр окружностей) находится в точке (0; 0). В начальный момент времени карась и пескарь находятся в точках 
и 
соответственно. Скорость карася в два с половиной раза больше скорости пескаря, оба двигаются по часовой стрелке. Определите координаты всех положений пескаря, при которых расстояние между рыбами будет кратчайшим.
где 
и 
—
то угловая скорость карася в 5 раза больше угловой скорости пескаря. Пусть к моменту совпадения направления векторов 
по часовой стрелке. Тогда 
где 
Следовательно, 
Координаты положения пескаря найдём по формулам 
и 
Используя координаты точки 
и 
−π, 
и имеют, соответственно, координаты 
На столе лежит кусочек сахара, вокруг которого по двум окружностям с одной и той же скоростью ползают муравей и жук. На плоскости стола введена прямоугольная система координат, в которой сахар (общий центр окружностей) находится в точке
и 
и 
— углы, соответствующие начальным расположениям насекомых. 
—
Следовательно, 
Для 
и 
Остальные точки получаются поворотом точки 
и имеют, соответственно, координаты 
и 
Вокруг птичьей кормушки в одной плоскости с ней по двум окружностям с одинаковой скоростью летают синица и снегирь. В указанной плоскости введена прямоугольная система координат, в которой кормушка (общий центр окружностей) находится в точке O(0; 0). Синица двигается по часовой стрелке, а снегирь — против. В начальный момент времени синица и снегирь находятся в точках 
и 
соответственно. Определите координаты всех положений снегиря, в которых расстояние между птицами будет кратчайшим.
и 
— углы, соответствующие начальным расположениям птиц. 
и 
— это радиусы окружностей, и 
Тогда 
Следовательно, 
Для 
и 
Остальные точки получаются поворотом точки 
и имеют, соответственно, координаты 
и 
— вершины правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность с центром O.
делится на многочлен 
Тогда 
а 
Утверждение задачи следует из того, что 
то доказанное тождество имеет следующую тригонометрическую форму 
и 
После небольших преобразований получаем, что искомое тождество равносильно тождеству, указанному в конце решения предыдущего пункта. 
Таким образом, 
На плоскости дан выпуклый многоугольник с вершинами в целых точках, содержащий внутри начало координат O. Пусть V1 — множество векторов, идущих из O в вершины многоугольника, а V2 — множество векторов, идущих из O во все целые точки, содержащиеся внутри и на границе многоугольника (таким образом, V1 содержится в V2). Два кузнечика прыгают по целым точкам: каждый прыжок первого кузнечика смещает его на вектор из множества V1, а второго — из V2. Докажите, что для некоторого числа c верно следующее утверждение: если оба кузнечика могут допрыгать из O до некоторой точки A, причем второму понадобится для этого n прыжков, то первый сможет сделать это не более чем за n + c прыжков.
(А. Акопян)
тогда 
лежит в треугольнике с вершинами 
из 
и, значит, 
где α, β, γ — неотрицательные рациональные числа с суммой 1 (они пропорциональны площадям треугольников vbc, vac, vab соответственно). Если 
—
прыжков на вектор 
прыжков на вектор 
прыжков на вектор 
Таким образом, можно считать, что второй кузнечик использует прыжок на вектор 
раз. 
такая что 
где 
и 
обозначают количества прыжков, необходимых первому и второму кузнечикам соответственно, чтобы достичь 
всегда один и тот же — ведь мы добились того, что количество возможных таких наборов конечно. Еще несколько раз переходя к подпоследовательности, можем считать, что для каждого вектора 
количество 
прыжков на вектор 
у второго кузнечика для достижения точки 
стабилизируется или же возрастает к бесконечности. Это позволяет считать, что при 
точка 
причем все прыжки из 
в 
и их количество равно 
Но тогда первый кузнечик может попасть в 
Необходимо построить дорогу, вымощенную бетонными плитами. Она пройдет в местности, где есть прямолинейный участок линии электропередач (ЛЭП) и завод по производству плит, находящийся на расстоянии d от ЛЭП 
Для ритмичной работы требуется, чтобы каждая точка строящейся дороги была одинаково удалена от завода и от ЛЭП.
А) Введите систему координат так, чтобы кирпичный завод имел координаты (0, 0), а ЛЭП проходила через точку (0, d) параллельно одной из координатных осей, и найдите координаты точек на дороге, удаленной от завода на расстояние 5d.
Б) Для каких натуральных n на такой дороге существует точка, удаленная от завода на расстояние nd?
Заметим, что строящаяся дорога будет находиться ниже этой прямой, (в полуплоскости 
—
есть 
Это расстояние равно расстоянию между точкой M и ЛЭП, которое составляет 
Из двух решений полученного уравнения выбираем то, которое удовлетворяет условию 
Таким образом, 
Осталось решить уравнение 
Такое решение всегда существует и равно 
Далее получаем уравнение 
при любом натуральном n.
Выразите вектор 
через 
тогда из условия симметрии точек A, B, C, D и Е следует, что 
Решим полученное однородное уравнение и получим 
через 
то получаем ответ 
через 
тогда из условия симметрии точек A, B, C, D и Е следует, что 
через 
то получаем ответ 
равна вектору с координатами (2; 1).
то 
Так как 
(здесь O — точка пересечения медиан треугольника), то 
и 
Пусть L — точка пересечения диагоналей CE и DF правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 3. Точка K такова, что 
Определите, лежит ли точка K внутри, на границе или вне ABCDEF, а также найдите длину отрезка KC.
точка K также является центром правильного треугольника, положение которого смотри на рисунке. Значит, точка K лежит вне шестиугольника и KC равняется радиусу описанной окружности правильного треугольника со стороной 3, откуда и следует ответ.
точка лежит вне шестиугольника.Пусть L — точка пересечения диагоналей CE и DF правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 4. Точка K такова, что 
Определите, лежит ли точка K внутри, на границе или вне ABCDEF, а также найдите длину отрезка KA.
точка K также является цент ром правильного треугольника, положение которого смотри на рисунке. Значит, точка K лежит вне шестиугольника и KA равняется радиусу описанной окружности правильного треугольника со стороной 4, откуда и следует ответ.
равна 2016.
откуда 
Теперь 
равна 2016.
откуда 
Теперь 
равна 2016.
откуда 
равна 2016.
откуда 
где k1 — угловой коэффициент прямой, проходящей через точку B, а k2 — через точку A. Найдем эти значения: 
следовательно, 
следовательно, 
решения нет. Найдем решение при 
и 
Отложим точку C, симметричную точке A относительно прямой 
для этого из A опустим перпендикуляр на 
и на нем найдем точку C такую, что 
Проводя прямую через точки C и B, найдем ее пересечение с прямой 
а кратчайшее расстояние между точками — прямая. Найдем периметр этого треугольника: 
